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2021年高考数学解三角形复习题

29．今年春节，突如其来的疫情对消费市场造成巨大冲击，全国范围内餐饮业都受到重大影

响．进入五月随着天气转暖，国内新冠肺炎疫情防控形势持续向好，各大城市在做好防

控工作的同时，在灯火通明的城市商圈和步行街也逐渐开放了夜市以发展经济．在“全

民夜市练摊”的热潮中，某商场经营者贾某准备在商场门前经营冷饮生意．已知该商场

门前是一块角形区域，如图所示，其中顶角A＝120°，且在该区域内点P处有一棵树，

经测量点P到区域边界AM，AN的距离分别为PH＝3m，PG＝2m（m为长度单位）．贾

某准备过点P修建一条长椅BC（点B，C分别落在AM，AN上，长椅的宽度及树的粗细

忽略不计），以供购买冷饮的人休息．

（Ⅰ）若∠PCA＝30°，求长椅BC的长度；

（Ⅱ）求点A到点P的距离；

（Ⅲ）为优化经营面积，当AB等于多少时，该三角形ABC区域面积最小？并求出最小

面积．

【解答】解：（I）当∠PCA＝30°时，∠PBA＝30°，

∵PG＝2，PH＝3，∴PB＝2PH＝6，PC＝2PG＝4，

∴BC＝PB+PC＝10（m）．

（II）由四边形的内角和可知：∠GPH＝180°﹣120°＝60°，

连接GH，在△PGH中，由余弦定理可得：GH＝4+9﹣2×2×3×cos60°＝7，2

∴GH=7．

√

4+7−911

故cos∠PGH==，∴sin∠AGH=．

2×2×72727

√√√

√7

在△AGH中，由正弦定理可得：=，即1=，

∠∠√3

27

√2

1

∴AH=，

√3

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1221

22√√

在Rt△APH中，由勾股定理可得：AP=√+=+9=（m）．

33

1131

（III）∵S=××2+××3=AC+AB，S=×××120°=

△ABC222△ABC2

√3

AB•AC，

4

3√3

∴AC+AB=AB•AC，

24

又AC+3AB≥2√3⋅，

22

√33383

∴AB•AC≥2√⋅，故AB•AC≥32，当且仅当AC=AB即AB=√时取等号，

4223