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84数学教学2024年第8期

对周期函数的两点思考

李鸿昌

（北京师范大学贵阳附属中学，贵州贵阳550081)

周期函数是高中数学的一块重要内容，也就叫做周期函数（periodicfunction）.非零常数

是高中数学教学的一个难点[.在周期函数的T叫做函数的周期(period).

研究中会遇到许多困难的问题.困难一是,函注：从周期函数这个概念的定义来看，周

数最小正周期的存在性问题.困难二是，两个期函数是“单向”的，而不是“双向”的.即，当

周期函数之和是否为周期函数问题.通过查阅αED时,只要求x+TeD,但并不要求x-TE

文献和探索,笔者给出自己对这两个问题的一D.所以,适合此定义的函数并不是传统意义上

些思考,最后对两个周期函数之和是否为周期具有“周而复始”的周期函数,此定义可理解为

函数的问题作了探究和推广。是一个广义的周期函数的定义.不过从目前来

1周期函数的概念看，一般教材中出现的周期函数的例子都是

现行高中数学教科书（人教A版、北师大“双向”的.按照周期函数的定义,函数f(α）=

版)中使用的周期函数的定义如下.sinx，αε（-α，O］是周期函数,其周期T

课本定义设函数f(x)的定义域为D,如－2kπ（k=1，2，…）．可见,f(x）只存在负周

果存在一个非零常数T,使得每一个αED都期而不存在正周期，所以，若要讨论函数的最

有α+TεD,且f(x+T)=f(α),那么函数f(α)小正周期,则需要函数有正周期的假设[2]。

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在文章中,丹尼尔·伯努利还解释了一个据丹尼尔·伯努利讲，他是从堂兄尼古拉一

现在叫做圣彼得堡论的论.这个游戏的规世·伯努利那里得知这个问题的，只不过原来

则是这样的，每次抛一枚硬币，掷出正面为成的问题有些不必要的繁琐.

功，反面为失败.游戏者如果第一次结果就成对于圣彼得堡论，我们也还有别的解

功，游戏结束，得奖金2元；第一次若不成功，继释.凯恩斯是反对大数定律的，他说“从长远来

续抛硬币，第二次成功，游戏结束，并得奖金4看，我们总是要死的”.这句话当然是正确，但

元；也就是说，游戏者如果不成功就继续抛硬是凯恩斯要表达的却不是字面意思.他认为是

币，直到成功为止，那么游戏结束.如果他在第“任何现实生活中的决策者都不会无数次地面

n次投掷成功，所得的奖金是2元.这个游戏对同一决策，因此，关于无限次重复之后会发

赢钱的期望值是生的数学事实与我们的讨论可能没有什么关

801系”.对于圣彼得堡论来讲，庄家的钱是有限

E[X=2×2=8.的，即使庄家有10（~23°）元（10亿元），他也

2″

=n

仅能够支付连续29次反面的奖金.也就是说，

按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于你连续掷出30个反面的话，庄家就要破产了.

其数学期望.而实际上，似乎没有人愿意花25