新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.3 数列（常规型）（解析版）.doc

专题1.3数列（常规型）

1．证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，

d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2．若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．

2．数列求和的常用方法：

①对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；

②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

③对于结构，利用分组求和法；

④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，

利用裂项相消法求和．

3．数列求和的常用方法：（设数列是等差数列，是等比数列）

①公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

②错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

③裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

④分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相

间等特征时可能用并项求和法；

⑤倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

4．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破

这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

；②；

③；④

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．

5．数列求和的方法技巧

①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

1．（2023·广东深圳·统考一模）记Sn为数列an的前n项和，已知Sn

(1)求a1+a

(2)求Sn

【解题思路】（1）利用an与前n项和Sn的关系，由Sn=an2

（2）由（1）中数列an+an+1为等差数列，对

【解答过程】（1）解：已知Sn=

当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当

因为Sn=an2

②－①得，an+1=an+12

所以an+1+a

所以an

（2）解：由（1）知，an?1+an=4

当n为偶数时，Sn=a

当n为奇数时，Sn=a

综上所述，Sn

2．（2023·全国·联考模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，log3bn+1?1=log

(1)求数列an和b

(2)若cn=an+1?bn+1

【解题思路】（1）根据对数运算得bn+1bn=3，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列

（2）利用错位相减法计算即可.

【解答过程】（1）∵log3bn+1?1=log3bn

又b3=9，得b1

由2an=an+1+a

∴a1+13d=273a1+3d=9，得a

（2）因为an=2n?1，bn

所以T

则3

上面两式作差得?2

=9+29

∴Tn

3．（2023·广东广州·统考一模）已知数列an的前n项和为Sn

(1)求a1，并证明数列a

(2)若2ak2

【解题思路】（1）根据an=S

（2）先根据（1）求出an，再利用错位相减法求出Sn，从而可得

【解答过程】（1）由Sn+2

当n=1时，S1=a

当n≥2时，Sn?1

两式相减得an=2a

所以an

所以数列an2n是以a

（2）由（1）得an2n

Sn

2S

两式相减得?S

所以Sn

则S2k

由2a

得k2

即k2

令fx

因为函数y=x2?4x+2,y=?

所以函数fx=x

由f1

f3

则当x≥4时，fx

所以若2ak2S

4．（2023·海南·校考一模）已知an为等差数列，前n项和为Sn，若S

(1)求a

(2)对?m∈N?，将an中落入区间2m,

【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求解即可；

（2）先根据2m2n?122m及n∈N?可得

【解答过程】（1）设an的公差为d

所以S4

a2n

解得a1=1，

所以a

（2）由题意可得2m2n?12

因为n∈N?，所以

所以bm=2

所以T

=2

5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列qn中q1=2，qn+1=2?1q

(1)求证数列1qn?1

(2)求证：1a

【解题思路】（1）条件等式两边取倒数化简变形即可；

（2）由累乘法求得a2n

【解答过程】（1）由qn+1=2?1

故1q

即1qn+1?1

所以1qn?1

（2）由a2na2n?1

于是a

所以a2n

1

=

=

=2?1

所以1a

6．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列an的前n项和为Snn∈N?，在数列bn中，

(1)求数列an，b

(2)设cn=?1n+1?anbn

【解题思路】（1）利用累加法和等差数列的通项公式可求an，由b1b2b

（2）利用错位相减法求出Tn

【解答过程】（1）由己知得，当n≥2时

n

=2n?1

∴a

当n=1时，a1=1

当n≥2时，bn+1=b

当n=1时，b1

当n=2时，b1?b2

∴an=n，

（2）由