第15讲-一阶及可降阶微分方程(n).pptVIP

第4章1微分方程—积分问题—微分方程问题推广

24.1微分方程的根本概念微分方程的根本概念引例几何问题物理问题第十二章

引例1.3一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),那么有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.

引例2.列车在平直路上以4的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).

微分方程的根本概念5常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或

6引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.

例1.验证函数7是微分方程的解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件

例2.曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q8求所满足的微分方程.解:如下图,令Y=0,得Q点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,

例3．试求以以下函数为通解的微分方程：9

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11转化4.2一阶微分方程解别离变量方程可别离变量方程别离变量方程的解法:积分

例1．求以下微分方程的通解

14例2.求微分方程的通解.解:别离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含别离变量时丧失的解y=0)

15例3.解初值问题解:别离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为

17形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:别离变量:

18例1.解微分方程解:代入原方程得别离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)

19例2.解微分方程解:那么有别离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丧失了.

21例3.求下述微分方程的通解:解:令那么故有即解得(C为任意常数)所求通解:

22练习:解法1别离变量即(C0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:

23例1.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程别离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:t=0时铀的含量为放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

24例2.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程别离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时

25可得?OMA=?OAM=?例4.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,那么反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:

26利用曲线的对称性,不妨设y0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

27顶到底的距离为h,说明:那么将这时旋转曲面方程为假设反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得

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29、一阶线性微分方程1、一阶线性微分方程2、伯努利方程第四章

30一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:假设Q(x)?0,若Q(x)?0,称