《高等数学习题》课件.ppt

************************函数最大最小值函数最大最小值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。我们可以利用导数来求函数的最大最小值。如果函数在闭区间上连续，则函数在该区间内一定存在最大值和最小值。求解函数最大最小值的方法是：首先求出函数在区间内的所有极值点，然后求出函数在区间端点处的值，最后比较这些值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。需要注意的是，如果函数在开区间上连续，则函数在该区间内不一定存在最大值和最小值。例如，函数f(x)=x在开区间(0,1)上就没有最大值和最小值。通过学习本节，我们将能够利用导数来求函数的最大最小值，并解决一些实际应用问题，例如优化问题。1闭区间2连续函数3极值点4端点值5比较大小微分中值定理微分中值定理是高等数学的重要组成部分，它们为我们研究函数的性质和应用提供了重要的理论基础。常见的微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。罗尔定理指出，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且在闭区间的两个端点处的值相等，则在开区间内至少存在一点，使得函数在该点处的导数为零。拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，它指出，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则在开区间内至少存在一点，使得函数在该点处的导数等于函数在闭区间的两个端点处的值的差与闭区间的长度之比。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它适用于两个函数的情况。掌握微分中值定理对于解决一些实际问题非常有帮助。罗尔定理端点值相等，导数为零拉格朗日中值定理导数与函数值之比柯西中值定理适用于两个函数第四章不定积分积分是高等数学的另一个重要组成部分，它是微分的逆运算。本章将重点讲解不定积分的概念、性质和计算方法。不定积分是指已知一个函数的导数，求这个函数的过程。换句话说，不定积分就是求导的逆运算。不定积分的结果是一个函数族，而不是一个具体的函数。这个函数族中的所有函数都具有相同的导数。本章将介绍不定积分的性质和计算方法，包括基本积分公式、换元积分法和分部积分法。基本积分公式是一些常用的函数的积分公式，例如幂函数的积分公式、指数函数的积分公式、三角函数的积分公式等。换元积分法和分部积分法是两种常用的积分方法，它们可以用来求解一些复杂的积分问题。掌握不定积分的概念和计算方法对于学习高等数学至关重要。概念微分的逆运算公式基本积分公式方法换元积分法和分部积分法不定积分概念不定积分是指已知一个函数的导数，求这个函数的过程。如果F(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。由于常数的导数为零，因此如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数。因此，f(x)的不定积分是一个函数族，而不是一个具体的函数。我们用∫f(x)dx来表示f(x)的不定积分。不定积分的几何意义是：如果F(x)是f(x)的不定积分，则F(x)的图像是f(x)的积分曲线。由于C的取值不同，因此积分曲线有无数条，它们之间是平行关系。通过学习本节，我们将能够理解不定积分的概念和几何意义，并掌握一些基本的不定积分的计算方法。原函数导数为已知函数的函数1函数族不定积分是一个函数族2积分曲线不定积分的图像3基本积分公式为了方便计算不定积分，我们需要记住一些基本积分公式。这些公式是：∫0dx=C，∫1dx=x+C，∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C(n≠-1)，∫a^xdx=a^x/ln(a)+C，∫e^xdx=e^x+C，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C，∫cot(x)dx=ln|sin(x)|+C，∫sec(x)dx=ln|sec(x)+tan(x)|+C，∫csc(x)dx=-ln|csc(x)+cot(x)|+C。掌握这些基本积分公式可以帮助我们快速计算一些简单的积分问题。此外，我们还需要理解这些公式的推导过程，以便更好地掌握不定积分的概念和计算方法。例如，我们可以利用求导的逆运算来推导积分公式。通过推导公式，我们可以加深对不定积分的理解，并能够灵活运用不定积分解决各种问题。函数不定积分0C1x+Cx^n(n≠-1)(x^(n+1))/(n+1)+Ca^xa^x/ln(a)+Ce^xe^x+Csin(x)-cos(x)+Ccos(x)sin(x)+C换元积分法换元积分法是一种常用的