吉林省辽源市田家炳高级中学校2025届高三上学期第三次质量检测(12月)数学试卷.docx

吉林省辽源市田家炳高级中学校2025届高三上学期第三次质量检测（12月）数学试卷

考试时间：120分钟?总分：150分?年级/班级：高三年级

一、选择题（每题5分，共20分）

要求：从每小题给出的四个选项中，选出正确的一个。

1.设函数f(x)=x^3-3x，若存在实数a，使得f(a)=0，则f(a)的值为（）

A.0

B.3

C.-3

D.6

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a5=6，a1+a8=12，则S10的值为（）

A.30

B.40

C.50

D.60

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA=1/2，则sinB的值为（）

A.√3/2

B.1/2

C.√3/4

D.1/4

4.设集合M={x|x^2-2x-3≤0}，则集合M的元素个数为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知函数f(x)=(x-1)^2+1，若存在实数a，使得f(a)=0，则a的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值为（）

A.1/2

B.√3/2

C.1/3

D.√3/3

二、填空题（每题5分，共20分）

要求：直接写出答案。

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值，则a、b、c之间的关系为__________。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，公差d=3，则S10的值为__________。

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则sinB的值为__________。

4.设集合M={x|x^2-2x-3≤0}，则集合M的元素个数为__________。

5.若函数f(x)=(x-1)^2+1，若存在实数a，使得f(a)=0，则a的值为__________。

6.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值为__________。

三、解答题（每题10分，共20分）

要求：解答下列各题。

3.已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的导数f(x)，并找出f(x)在区间[-1,2]上的极大值和极小值。

4.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为V(h,k)，若抛物线经过点A(1,2)和B(3,0)，且顶点在x轴上，求抛物线的方程。

五、证明题（每题10分，共10分）

要求：证明下列各题。

5.证明：对于任意实数x，都有x^3+3x+1≥0。

六、应用题（每题10分，共10分）

要求：解答下列各题。

6.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值，并指出对应的x值。

本次试卷答案如下：

一、选择题

1.答案：D

解析思路：由f(x)=x^3-3x，求导得f(x)=3x^2-3，代入a得f(a)=3a^2-3，由f(a)=0得a^3-3a=0，解得a=0，代入f(a)得f(0)=-3。

2.答案：C

解析思路：由等差数列的性质，a5=a1+4d，a8=a1+7d，联立方程组解得a1=2，d=3，则S10=10/2*(2a1+9d)=5*(2*2+9*3)=50。

3.答案：A

解析思路：由cosA=1/2，得角A=π/3，由正弦定理得sinB=(b*sinA)/a=(4*sin(π/3))/3=2√3/3。

4.答案：C

解析思路：解不等式x^2-2x-3≤0，得(x-3)(x+1)≤0，解得x∈[-1,3]，故集合M的元素个数为4。

5.答案：A

解析思路：由f(x)=(x-1)^2+1，得f(a)=0，即(a-1)^2+1=0，解得a=1。

6.答案：B

解析思路：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入a=3，b=4，c=5，得cosA=(16+25-9)/(2*4*5)=√3/2。

二、填空题

1.答案：a0，b=0。

解析思路：由函数取得最小值，得导数f(x)