高二上数学知识点总结.docVIP

不等式

不等式的概念和性质

根本知识：

1．不等式的定义：用不等号“,,”将两个代数式连接而成的式子叫做不等式。

2．两个实数的大小：

用作差运算定义：

用作商运算定义：

3．不等式的性质：

不等号不改变方向的：

①〔对称性〕

②〔传递性〕

③〔不等量加等量〕

④〔同向不等式相加〕〔注意：异向不等式不能相加！〕

⑤〔异向不等式相减〕〔注意：同向不等式不能相减！〕

⑥〔不等量乘正量〕；〔不等量除正量〕

⑦〔同向不等式相乘〕〔注意：异向不等式不能相乘！〕

⑧〔异向不等式相除〕〔注意：同向不等式不能相除！〕

⑨〔不等式的乘方〕

⑩〔不等式的开方〕

不等号要改变方向的：

⑾．〔不等量乘负量〕；〔不等量除负量〕

⑿．〔不等量取倒数〕

均值不等式

根本知识：

1．均值不等式1：如果，那么〔当且仅当时取“=”〕

证明：

2．均值不等式2：如果是正数，那么〔当且仅当时取“=”〕

证明：∵∴

即：当且仅当时

3．变式：，〔〕〔当且仅当时取“=”〕

4．均方——方均不等式：

5．推广：〔不作要求〕

〔1〕定理：如果，那么〔当且仅当时取“=”〕

证明：∵

∵∴上式≥0从而

指出：这里∵就不能保证

〔2〕推论：如果，那么〔当且仅当时取“=”〕

〔3〕假设，那么〔当且仅当时取“=”〕

6．不等式链：假设，那么≤≤≤

〔调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤加权平均数〕

柯西不等式〔特例〕：

柯西不等式

二维形式

(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc(a/b=c/d)扩展:〔(a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2;)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn(当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n〕三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]注：“√”表示平方根，向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a,…,an)，β=(b1,b,…,bn)〔n∈N，n≥2〕等号成立条件：β为零向量，或α=λβ〔λ∈R〕。一般形式(∑〔ai^2;))(∑(bi^2;))≥(∑ai·bi)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。上述不等式等同于图片中的不等式。推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。〔应为之积的几何平均之和〕

编辑本段柯西不等式的证明

二维形式的证明(a^2+b^2)(c^2+d^2)〔a,b,c,d∈R)=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d|注：||表示绝对值。*表示乘≥a^2+b^2+c^2+d^2-2〔a*c+b*d〕=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2=(a-c)^2+(b-d)^2两边开根号即得√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2证明：等式左边=(ai^2·bj^2+aj^2·bi^2)+....................共n^2/2项等式右边=〔ai·bi〕·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+........