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导数知识点归纳及应用

●知识点归纳

一、相关概念

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量〔〕，比值叫做函数y=f〔x〕在x到x+之间的〔〕，即〔〕。如果当时，有〔〕，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f〔x〕在点x处的导数，记作〔〕，即〔〕。

注意：

〔1〕函数f〔x〕在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

〔2〕是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f〔x〕在点x处的导数的步骤：

①求函数的增量〔〕；

②求平均变化率〔〕；

③取极限，得导数〔〕。

例：设f(x)=x|x|,那么f′(0)=.

2．导数的几何意义

函数y=f〔x〕在点x处的导数的几何意义是曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的〔〕。也就是说，曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率是〔〕。

相应地，切线方程为y－y=f/〔x〕〔x－x〕。

例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ()

A．3 B．2 C．1 D．0

3.导数的物理意义

假设物体运动的规律是s=s〔t〕，那么该物体在时刻t的瞬间速度v=〔t〕。

假设物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v〔t〕，那么该物体在时刻t的加速度a=v′〔t〕。

例：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是〔〕

s

s

t

O

A．

s

t

O

s

t

O

s

t

O

B．

C．

D．

练习：质点M按规律做直线运动〔位移单位：cm，时间单位：s〕。

当t=2，时，求；

当t=2，时，求；

求质点M在t=2时的瞬时速度。

二、导数的运算

1．根本函数的导数公式:

①〔C为常数〕②③;④;

⑤⑥;⑦;⑧.

例1：以下求导运算正确的选项是()

A．(x+B．(log2x)′=

C．(3x)′=3xlog3eD．(x2cosx)′=-2xsinx

例2：设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，那么f2005(x)＝()

A．sinx B．－sinx C．cosxD．－cosx

2．导数的运算法那么

法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：〔〕

法那么2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：〔〕

假设C为常数,那么.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法那么3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：〔〕。

例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.那么不等式f(x)g(x)＜0的解集是()

A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)

C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)

3.复合函数的导数

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：

分解——求导——回代。

法那么：y＇|=y＇|·u＇|或者.

练习：求以下各函数的导数：

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

〔1〕设函数在某个区间〔a，b〕可导，如果，那么在此区间上为〔〕；如果，那么在此区间上为〔〕。

〔2〕如果在某区间内恒有，那么为〔〕。

例：函数是减函数的