矩阵及其基本算法.ppt

矩阵的转置(4)请看下面的例子：各列非零元素个数为：2,3,0,1各列第一个元素序号：0,2,5,5012345123456第23页，共33页，星期日，2025年，2月5日矩阵乘法(1)矩阵乘法在二维数组表示中，最简单的方法就是对每个元素用循环累加出结果，二重循环枚举每个元素，共三层循环。在三元组表示中，对于A中的一个元素Aij，我们只需要访问B中第j行所有元素Bjk，把每个乘积Aij×Bjk加到Cik中。这样，每遍历A的一行元素，就计算出了C的一行元素。和快速转置算法类似，我们可以事先算出B的每行元素的下标范围，再用一个循环依次考虑A中的每个元素就可以了。十字链表在本质上是三元组的链式存储，所以乘法和三元组差别不大，但是实现却麻烦得多。该方法的好处在于，把中间结果Aij×Bjk加到Cik时，如果Cik并不存在，就需要对矩阵进行插入操作。在十字链表上的插入操作比三元组快得多。第24页，共33页，星期日，2025年，2月5日第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日矩阵及其基本算法矩阵的表示矩阵的基本运算小结和应用举例第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日一、矩阵的表示三角矩阵的压缩表示法稀疏矩阵的三元组表示法稀疏矩阵的十字链表表示法矩阵在形式上最直接的表示是一个二维数组，但是在一些特殊的场合中，我们需要引入一些特殊的方法来表示一些特殊的矩阵。在本节中，大家还将了解到以下几种表示方法:第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日矩阵的二维数组表示法structTMatrix{intn,m;intnumbers[MAXN+1][MAXN+1];};我们用二维数组很容易表示一个矩阵。加上矩阵的维数M和N，我们可以定义一个TMatrix结构:这就是矩阵的二维数组表示法。怎么样，容易吧？第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日三角矩阵的压缩表示(1)N阶上三角矩阵，对称矩阵和反对称矩阵都只需要储存主对角线以上的共(N+1)*N/2个元素。因此，我们可以用一个大小为(N+1)*N/2的一维数组来表示。不过，我们需要一个公式，把每个元素原来的位置(i,j)映射到一维数组的下标k。第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日三角矩阵的压缩表示(2)我们从上到下，从左到右地储存各个元素，如下图：Aij前面的数的个数为：计算得:第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日稀疏矩阵在前面的二维数组表示法中，我们表示一个N*M的矩阵需要N*M个内存单元。如果已知矩阵中存在着大量的0元素，那么这种表示方法是很浪费空间的。由于非零元素的个数L十分有限，我们可以只储存下这L个元素的位置和大小，占用的空间便会少得多。第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日稀疏矩阵的三元组表示法显然，表示稀疏矩阵最直接的方法就是仅记录下非零元素的个数L和这L个元素的位置(row,col)和大小(value)，即下面这个结构：structTMatrix2{intl;introw[MAXL],col[MAXL],value[MAXL];};第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日稀疏矩阵的十字链表表示(1)三元组表示法比较好的解决了稀疏矩阵的空间存储问题，却忽视了稀疏矩阵可能进行了一些基本操作。考虑两个稀疏矩阵A和B相加的问题。对于运算结果矩阵C来说，可能会因为正负抵消而产生出很多新的零元素和非零元素，导致三元组需要进行一些插入和删除操作。当这些操作很频繁的时候，程序的速度会明显变慢。在某些特定情况下，我们需要对元素进行检索，由于三元组的元素之间联系并不紧密，所以检索很不方便。第9页，共33页，星期日，2025年，2月5日稀疏矩阵的十字链表表示(2)为了加强同一行和同一列之间元素的联系，我们把每一行分别做成一个链表，把每一列也分别做成一个链表。通过对链表的遍历，我们可以很方便的按顺序访问到某一特定行或列的所有元素。插入和删除操作也很方便。这样，我们了建立一种十字型的链表结构，每个结点有上，下，左，右四个指针和自身的位置坐标，大小共7个域。第10页，共33页，星期日，2025年，2月5日稀疏矩阵的十字链表表示(3)结点类型如下定义：structTnode{introw,col;intvalue;Tnode*left,*right,*up,*down;};row,col分别为该非零元素的位置，value为它的值。left,right,up,down分别为指向四个方向的后继元素。第11页，共33页，星期日