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2021年高考数学解三角形复习题

1．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB＝bcosC．

（Ⅰ）若a＝2，c＝1，解这个三角形；

（Ⅱ）我们知道，如果PQ是某个定圆的一条弦，点M在PQ分圆所得的优（劣）弧上

运动，则∠PMQ的大小确定．本题中，若=23，请结合△ABC的外接圆，根据a的

√

取值讨论△ABC解的个数，并请说明a取何值时△ABC的面积最大．

【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得：（2a﹣c）cosB＝bcosC，

⇒（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，

即：2sinAcosB＝sinCcosB+cosCsinB＝sin（B+C）＝sinA，

在△ABC中，0＜A＜π，

∴sinA≠0，

1

∴cosB=，

2

∵0＜B＜π，

∴B=，

3

1

222=3，

由余弦定理可得b＝a+c﹣2accosB＝4+1﹣2×2×1×

2

∴b=3，

√

√3

由正弦定理可得==，

√3

2

∴sinA＝1，

∵0＜A＜π，

∴A=，

2

∴C=，

6

23

√

（Ⅱ）由正弦定理可得====2R，

√3

2

∴R＝2，

22

−=16−12=2或a＝2R＝4时，△

当AB为直径2R或BC为2R时，即a=√(2)√

ABC为直角三角形，△ABC有一个解；

则当a∈（0，2）或a∈（23，4），△ABC为钝角三角形，△有一个解，

√

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当a＝23，△ABC为等边三角形，有一个解；

√

当a∈（2，4）且a≠23，△ABC为锐角三角形有2解；

√

1133

√√

因为S△ABC=acsinB=⋅ac=ac，

2224

1

222=ac，所以ac≤b2

在△ABC中，由余弦定理可得b＝a+c﹣2accosB≥2ac﹣2ac⋅＝12，