17.2 运用勾股定理巧妙计算 讲义 2024--2025学年人教版八年级数学下册 .docxVIP

速算与妙算线段

——谈勾股定理在计算中的灵活运用

泸州高中附属学校易建洪

关键词：

数学教学是由慢到快到准的艺术，直角三角形中的勾股定理，是三角形、多边形、圆中线段计算证明的基础，在教学中教会学生如何运用勾股定理快速准确进行计算、如何设元运用勾股定理建方程计算线段。在教学中点燃学生学习的热情，激发归纳总结规律的欲望是关键，引导学生画图计算，实际动手操动是手段。

一、快速口算边长

抓住直角三角形中的线段长度特征，有时可以运用缩放法、平方差因式分解法、勾股数、比例法等快速口算直角三角形的边长。教学完勾股定理后，给学生出了五道填空题如下：

例题1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件填空：

（1）若a＝4，b＝8，则c＝___________.

（2）若c＝41，b＝40，则a＝_____________.

（3）若a＝5，b＝12，则c＝____________.

（4）若∠A＝30°，a＝2，则c＝__________，b＝__________.

（5）若∠A＝45，a＝3，则c＝__________，b＝__________.

绝大多数学生用了很久的时间才计算完，此时，我让学生停笔下来，看老师口算出答案。学生惊讶地望着老师。然后老师再逐一引导学生提炼归纳规律，学生通过与实际计算的结果对比，从而验证规律是正确的。总结完规律，老师再随意举一些例子，分别请学生来口算第三边的边长。班上平时学习成绩较差的学生也会在短短的一两秒时间内正确算出答案，这大大增加了他们学习数学的兴趣和信心。通过上面的习题，我们总结的规律如下：

1.缩放法：

直角三角形已知的两边成倍数a，或有公因数a，将这两边同时缩小a倍，用勾股定理计算出第三边，再将结果乘以a倍得实际第三边的长度.

（图1）例题1中的（1）小题，将4、8同时缩小4倍后为1、2，由1和2计算斜边为，这一过程是绝大多数学生都能口算的，再将放4倍回去（如图1），实际c的长为4.

（图1）

2.平方差因式分解法：

当计算直角边长的时候，将被开方数的平方差分解因式，往往会使计算化简更简便。例题1中的（2）小题，如果不用平方差公式，先算平方，再算差，会是这样：C＝.如果用平方差公式，则会是这样：C＝。前一个算式中412都会让学生计算费时，而后一种计算全是在口算中进行比较省时.

3.勾股数

记住勾股数及其倍分数，可以快速得到答案。例如3，4，5的倍数6，8，10；9，12，15；12，15，20…；此外常见的勾股数可以用联系法引导学生记忆：首位数是奇数3，5，7，9，11，后两位数分别是相邻整数；首位数是独立偶数时为8.

3，4，5（勾三股四弦五口诀）；

5，12，13（2＋3＝5，后两位个位数相加为首位数）；

7，24，25（2＋5－7，后一位十位与个位数相加为首位数）；

9，40，41（4＋0＋4＋1＝9，后两位所有数字相加为首位数）；

11，60，61（6＋6－1＝11，后两位十位数字减个位数字为首位数）；

8，15，17（7＋8＝15，最后一个个位数字加首位数字为第二个数）.

此外常见勾股数与它们的倍分数也会满足勾股定理的计算.例题1中的（3）小题因为记住了勾股数5，12，13，因此口算出斜边c等于13.

4.比例法

直角三角形中，当有一锐角为30°时，则三边的比例关系为1：：2；直角三角形中，当有一锐角为45°时，则三边的比例关系为1：1：.规纳这种比例关系时，先让学生通过几个简单的例子计算出三边数据，再引导将它们相比，得出此规律；其此引导学生在具体计算中，找出一份的边长，再利用比例口算未知边长。

（图2）例如在直角三角形中，知60°所对的边长为3求斜边长.如图2因为60°所对的边的比例是份，因此将3÷＝得到一份的数值，即30°所对边的长，再乘以2为斜边的长2.

（图2）

同样的道理，在等腰直角三角形中，将斜边的长除以，可以得到直角边的长.

但是，在解答题中，有比例法计算三边的情况时，要求学生应该完整规范书写解题过程。例如在直角三角形中，知60°所对的边长为3求斜边长.先设30°所对的边长为x，则斜边长为2x，由勾股定理得：x2＋32＝(2x)2，所以x＝，斜边c＝2x＝2.在填空选择题中，则可以快算口算结果，例题1中的（4）小题c＝4，b＝2.例题1中的（5）小题c＝3，b＝3.

二、设元妙算边长

在三角形中，只知一边的长，求另外两边，往往需要根据其它条件，设未知的一边为x，用含x的代数式表示其它未知边，巧妙借助勾股定理建方程求解x.其中由等量关系建方程的类型不同可以分为“和差边”和“边为桥”两种.

1.和差边

在同一个直角三角形中，未知的两边存在和差关系，设未知的一边为x，利用和差关系表示出另一边，再利用勾股定理建立方程.此类习题的难点