新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.7 空间向量与立体几何（解析版）.doc

专题1.7空间向量与立体几何

高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等．

1．主要有两种考查形式：

(1)利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；

(2)考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.

2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

(1)建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求出相关点的坐标；

(3)写出向量坐标；

(4)结合公式进行论证、计算；

(5)转化为几何结论．

3．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则.

4．用向量解决探索性问题的方法：

(1)确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．

(2)确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．

(3)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．

1．（2023·云南昆明·统考一模）如图，直四棱柱ABCD?A1B1

(1)从三个条件：①AC⊥BD；②∠ADC=120°；③BD=2AD中任选一个作为已知条件，证明：BC⊥DC

(2)在（1）的前提下，若AB=3AA1，P是棱BB

【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；

（2）建系，利用空间向量求面面夹角.

【解答过程】（1）对①：设AC与BD的交点为E，

∵△ABC是等边三角形，且AC⊥BD，则E为AC的中点，

可得DA=DC，且AB=BC,BD=BD，则△BAD?△BCD，

故∠BCD=∠BAD=90°，即BC⊥CD，

又∵CC1⊥平面ABCD，BC?

∴BC⊥CC1，且CD∩CC

故BC⊥平面CDD

注意到DC1?平面CD

对②：∵∠ADC+∠ABC=180°，则∠BCD+∠BAD=180°，

又∵AB⊥AD，即∠BAD=90°，

可得∠BCD=90°，即BC⊥CD，

又∵CC1⊥平面ABCD，BC?

∴BC⊥CC1，且CD∩CC

故BC⊥平面CDD

注意到DC1?平面CD

对③：∵AB⊥AD，即∠BAD=90°，

在Rt△BAD中，则sin∠ABD=AD

故∠ABD=∠CBD=30°,AB=BC,BD=BD，则△BAD?△BCD，

故∠BCD=∠BAD=90°，即BC⊥CD，

又∵CC1⊥平面ABCD，BC?

∴BC⊥CC1，且CD∩CC

故BC⊥平面CDD

注意到DC1?平面CD

（2）如图，建立空间直角坐标系A?xyz，设AA

则D0,2,0

可得DD

设平面PDC1的法向量为n=

令x1=5，则y1

设平面PDD1的法向量为m=

令x2=1，则y2

则cosn

故平面PDC1与平面PDD

2．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，∠ACB=90°，AC

(1)求证：平面ACC1A

(2)若AA1⊥AC，D为线段A1C的中点，AC=2BC=2

【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理与性质可得AC1⊥BC

（2）由（1），根据面面垂直的性质可得CC1⊥平面ABC，建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出平面A1BC

【解答过程】（1）已知A1C⊥AC1，又AC1⊥BD，A

所以AC1⊥

又BC?平面A1BC，所以

因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC，

又AC∩AC1=A，AC、AC1?平面

又BC?平面ABC，所以平面ACC1A

（2）由（1）知平面ACC1A

又平面ACC1A1∩平面ABC=AC，A

所以AA1⊥平面ABC

所以CC1⊥平面ABC，所以CA，CB

以C为坐标原点，CA，CB，CC1的方向分别为x轴、y轴、

建立空间直角坐标系如图所示：

因为AA1⊥AC

又因为AC1⊥

因为AC=2，BC=1，所以CC

所以C0,0,0，B0,1,0，A1

由D是线段A1C的中点，得

所以CB=0,1,0，CA

设平面A1BC的一个法向量为

则n?CB

取x=1，则z=?1，所以n=

cosn

设直线B1D与平面A1BC所成的角为

所以cosα=

所以直线B1D与平面A1

3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC?