新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.7 空间向量与立体几何（原卷版）.doc

专题1.7空间向量与立体几何

高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等．

1．主要有两种考查形式：

(1)利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；

(2)考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.

2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

(1)建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求出相关点的坐标；

(3)写出向量坐标；

(4)结合公式进行论证、计算；

(5)转化为几何结论．

3．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则.

4．用向量解决探索性问题的方法：

(1)确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．

(2)确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．

(3)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．

1．（2023·云南昆明·统考一模）如图，直四棱柱ABCD?A1B1

(1)从三个条件：①AC⊥BD；②∠ADC=120°；③BD=2AD中任选一个作为已知条件，证明：BC⊥DC

(2)在（1）的前提下，若AB=3AA1，P是棱BB

2．（2023·湖南张家界·统考二模）如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，∠ACB=90°，AC

(1)求证：平面ACC1A

(2)若AA1⊥AC，D为线段A1C的中点，AC=2BC=2

3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC，点F是

(1)求证：A1

(2)若AB⊥AC，AB=12AA1，直线A1F

4．（2023·福建漳州·统考三模）如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，DD1=3，∠ABC=2π3，G

(1)求点D到平面BC

(2)求平面AEC与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

5．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2π3，E为BC的中点，F为AB上一点，且EF⊥AB.现将△BEF沿EF翻折到

(1)证明：EF⊥AB

(2)已知二面角B?EF?A为π3，在棱AC上是否存在点M，使得直线BC与平面BMF

6．（2023·山东泰安·统考一模）在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为6的正方形，AE⊥AB，EG//AD,EG=12AD，EF//AB,EF=12AB，AE=6，点P，Q分别在棱GD，BC

(1)证明：AE⊥平面ABCD；

(2)设H为线段GC上一点，且三棱锥A?CDH的体积为18，求平面ACH与平面ADH夹角的余弦值.

7．（2023·天津河北·校考模拟预测）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.

(1)求证：EF//平面CPM；

(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；

(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM

8．（2023·广东江门·统考一模）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，O是AD的中点，点E在PC上，且AP//平面BOE

(1)求PEEC

(2)若OP⊥平面ABCD，OE⊥PC，AB=2，∠BAD=60°，求直线OE与平面

9．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图在三棱柱ABC?A1B1C1中，D为

(1)证明：BB

(2)若BB1⊥BC

从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角B?B

①三棱柱ABC?A1B

②直线AB1与平面BCC

③二面角A?BB

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

10．（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA

(1)证明：ED//平面ABC

(2)求直线CC1与平面

11．（2023·福建福州·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱

(1)证明：BE//平面PAD；