新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.12 导数的极值、最值问题（解析版）.doc

专题1.12导数的极值、最值问题

1．高考对本部分的考查一般有三个层次：

(1)主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；

(2)导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；

(3)综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．

2．函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

(2)求函数极值的方法：

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么

在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．

3．求函数f(x)在[a,b]上最值的方法

(1)若函数f(x)在[a,b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．

(2)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a,b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．

注意：(1)若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．

(2)极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．

1．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数f(x)=me

(1)当m≥3时，证明：fx在区间(?

(2)若函数g(x)=f(x)?cosx存在两个不同的极值点，求实数

【解题思路】（1）求导f′(x)=mex?3x?2

（2）求导g′(x)=exm?3x+2?sin

【解答过程】（1）解：f′(x)=me

则?′

当xln3m时，?′(x)0，f′(x)

∴f′

∴fx在R

（2）因为g(x)=me

所以g′

∵gx

∴g′

令r(x)=m?3x+2?sinx

=?1?3x?

令φ(x)=1?3x?cos

φ′(x)=?3+sinx+cos

注意到φ0

∴当x0时，φx0，则r′

当x0时，φx0，则r′

∴r(x)

要使rx有两个不同的变号零点，则r(x)min

且当x→?∞时，rx→+∞，当

∴m0．

综上：0m2，即m的取值范围为0,2．

2．（2023·陕西·联考一模）已知函数fx=xa+

(1)当a=?1时，求fx

(2)若fx在区间0,e上的最大值为2，求

【解题思路】（1）确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数的正负，即可求得函数的单调区间；

（2）求得函数的导数，讨论a的取值范围，确定函数的单调性，确定函数的最值，结合题意，求得a的值.

【解答过程】（1）函数fx的定义域为0,+

当a=?1时，fx=ln

令f′x0得，0x1；令f′x0得，

∴函数fx增区间为0,1，减区间为1,+

（2）f′

①当a0时，x0，∴f′x0，∴函数f

∴fxmax=fe=2

②当a0且?ae时，令f′x

x

0,?a

?a

?a,

f

+

0

-

f

增函数

极大值

减函数

∴fxmax=f?a=2

③若?a≥e，即a≤?e时，在(0,e)

∴fx在(0,e)上是增函数，故fx在(0,

∴a=e

综合以上可得a=e

3．（2023·吉林·校考二模）已知函数fx=1

(1)若a=1，求函数fx

(2)讨论函数fx

【解题思路】（1）由导数得出单调性，进而得出极值；

（2）求导，讨论a?2和1的大小关系，得出函数fx

【解答过程】（1）若a=1，则fx=1

f′x=x?1x

当f′x0时，x∈0,1；当

所以，fx在区间0,1上单调递减，在区间1,+

fx不存在极大值；存在极小值，且极小值为f

（2）f′x=x+1?a+

①若a?2≤0，即a≤2，则令f′x=0

当x∈0,1时，f′x0；当

所以，fx在区间0,1上单调递减，在区间1,+

②若0a?21，即2a3，则令f′x=0，得x=1

此时，fx

x

0,a?2

a?2

a?2,1

1

1,+

f

+

0

?

0

+

f

↗

极大值

↘

极小值

↗

③若a=3，则当x∈0,+∞时，f′

此时，fx在区间0,+

④若a?21，即a3，则令f′x=0，得x=1

此时，fx

x

0,1

1

1,a?2

a?2

a?2,+

f

+

0

?

0

+

f

↗

极大值

↘

极小值

↗

综上：a≤2时，fx在区间0,1上单调递减，在区