新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.7 空间向量与立体几何（解析版）.doc

专题2.7空间向量与立体几何

1．求空间中直线与平面所成角的常见方法

(1)定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；

(3)向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值．

2．利用向量求异面直线所成的角的方法

设异面直线AC，BD的夹角为β，则cosβ＝．

3．利用向量求线面角的方法

(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

4．利用向量求面面角的方法

(1)求出二面角的两个面所在平面的法向量；

(2)通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

1．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）在如图所示的多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC,AE//CD,AE=2CD=2,CA=CB=3,AB=25

(1)证明:平面ABE⊥平面BDE;

(2)求二面角E?BD?C的正弦值.

【解题思路】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可证明DG⊥平面ABE，再由面面垂直的判定定理即可证明；

（2）分别求出平面BDE和平面BDC的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【解答过程】（1）证明:设AB，BE的中点分别为F，

则FG//AE，且FG=12AE，又CD//AE

所以FG//CD，且FG=CD，所以四边形CFGD为平行四边形，

所以CF//DG.因为AE⊥平面ABC，CF?平面ABC，所以

所以AE⊥DG，因为CA=CB，F为AB的中点，所以

所以DG⊥AB，又AB，AE?平面ABE，且

所以DG⊥平面ABE，又DG?平面BDE，所以平面ABE⊥平面BDE.

（2）由（1）得CF⊥AB,CF⊥FG,FG⊥AB，所以FB,FC,FG两两垂直，

故以直线FB,FC,FG分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，

则B5

所以DB=

设平面BDE的一个法向量n=x,y,z，则

即5x?2y?z=0，?25x+2z=0，令

设平面BDC的一个法向量=a,b,c，则m

即5a?2b?c=0c=0，令a=2，解得b=5

所以cosm

设二面角E?BD?C的大小为θ，则θ∈0,π，

所以sinθ=1?cos

2．（2023·北京·校考模拟预测）如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D是AC中点，A1D⊥平面ABC，平面B

(1)求证：BB

(2)若B1C与平面A1ABB

【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理证得BB

（2）建立空间直角坐标系，根据B1C与平面A1ABB

【解答过程】（1）根据棱柱的性质可知，BB

由于BB1?平面ACC1

所以BB1//

由于BB1?平面BB1

所以BB

（2）由于A1D⊥平面ABC，CD,BD?平面

所以A1

由于AB=BC,D是AC的中点，所以BD⊥CD，

由此以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，

设BD=tt0，A

则B1

B1

设平面A1ABB

则n?AB=tx+y=0

所以n?

解得t=1或t=3

当t=1，即BD=1时，VC?AB

当t=32，即BD=3

3．（2023·全国·校联考一模）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设AB=a，AC=

(1)求证EG⊥AB；

(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．

【解题思路】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出CE⊥AB,DE⊥AB，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直；

（2）用a,b,c表达AG与EC，利用空间向量夹角公式求解异面直线

【解答过程】（1）证明：连接DE，

因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，

所以AC=BC,BD=AD，

故CE⊥AB,DE⊥AB，

又因为CE∩DE=E，CE,DE?平面CDE，

所以AB⊥平面CDE，

因为EG?平面CDE，

所以AB⊥EG.

（2）由题意得：△ABC,△ACD,△ABD均为等边三角形且边长为1，

所以AG=EC=

AG=12

所以AG

=

=1

设异面直线AG和CE所成角为θ，

则cosθ=

4．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）如图，已知四棱锥E?ABCD，底面ABCD是平行四边形，且∠DAB=π3，AD=2AB=2,BE=PE,P是线段AD的中点，

(1)求证：PC⊥平面BPE；

(2)下列条件任选其一，求二面角P?EC?B的余弦值.

①AE与平面ABCD所成的角为π4

②D到平面EPC的距离