常微分方程数值解.pptVIP

微分方程在化工中的应用欧拉（Euler）公式龙格-库塔方法常微分方程组的数值解法程序示例及应用第4章常微分方程数值解套管内侧为液体，其温度只随套管的长度改变而改变，忽略温度的径向变化；套管环隙为蒸汽，其温度在任何位置均为恒定值，可认为是饱和蒸汽的温度。01忽略套管内侧流体的纵向热传导。02在整个套管长度方向上，总传热系数K不变。03微分方程在化工中应用的简单而又典型的例子是套管式换热器的稳态温度分布。首先作以下假设：4.1微分方程在化工中的应用4.1微分方程在化工中的应用蒸汽入口流体入口，u，t0冷凝液出口流体出口，u，tL图4-1套管式换热器温度分布示意图流入的热量+传入的热量-流出的热量=0（4-1）（4-2）（4-3）（4-3）另一个在化工中常见的微分方程是物料冷却过程的数学模型，其模型可用下式表示：在微分方程中我们称自变量函数只有一个的微分方程为常微分方程，自变量函数个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程。给定微分方程及其初始条件，称为初值问题；给定微分方程及其边界条件，称为边值问题。01024.1微分方程在化工中的应用4.1微分方程在化工中的应用在化工模拟中主要碰到的是常微分方程的初值问题：（4-5）或对于大多数常微分方程的初值问题,只能计算它的数值解。常微分方程初值问题的数值解就是求y(x)在求解区间[a,b]上各个分点序列xn，n=1,2,…,m的数值解yn。在计算中约定y(xn)表示常微分方程准确解的值，yn表示y(xn)的近似值。向前欧拉公式向后欧拉公式中心欧拉公式梯形公式4.2欧拉（Euler）公式（4-6）图4-2欧拉折线法几何示意图下式为计算近似值的向前欧拉公式：4.2.1向前欧拉公式例4.1：假定某物体的温度w因自热而产生的热量可以使物体在每秒钟内以4%的速度增长，同时该物体由于散热可使其温度在每秒种内下降100k，则物体温度随时间变化的微分方程：（t以秒为单位)分别以初始温x(0)=1500k，y(0)=2500k，z(0)=3500k用欧拉公式预测24秒后的物体温度趋势。4.2.1向前欧拉公式实例向前欧拉公式实例解：w0分别以x0=1500，y0=2500，z0=3500代入。计算结果见表4-1。图4-3三种初始值的温度变化曲线表4-14.2.1向前欧拉公式实例从表4-1可以看到当自热引起物体温度升高的速度小于散热引起温度下降的速度，物体的温度随时间而逐渐减少：当自热引起物体温度升高的速度与散热引起温度下降的速度平衡时，物体的温度保持不变；当自热引起物体温度升高的速度大于散热引起温度下降的速度，物体的温度随时间而增长。在图4-3中L1，L2，L3分别表示初始值3500，2500和1500的三条温度变化趋势曲线。4.2.2向后欧拉公式h充分小时，以上迭代收敛。记，则h充分小时，可保证，其中L为李普希兹条件。向后欧拉公式：（4-6）式(4-7)是yn+1的非线性方程，即隐式欧拉公式，用迭代法求得yn+1。初始值由向前欧拉公式提供。最简单的迭代公式为：y(x)的在x=x1处的中心差商式：又，可得到y(x2)的近似值y2计算公式：类似地，可得到计算y(xn+1)近似值yn+1的计算公式：公式(4-8)称为中心格式。按公式(4-8)，需要知道yn-1,yn的值才能求得yn+1的值。因此，要先用其它公式计算出y1，再用中心格式算出y2,y3,…。y1可用向前欧拉公式计算，为提高精度，也可用向后欧拉公式计算。(4-8)4.2.3中心欧拉公式(4-9)梯形公式：梯形公式也是隐式格式。(4-10)用显式的欧拉公式和隐式的梯形公式给出的一次预估-校正公式：上式也称为改进的欧拉公式，它可合并成：12344.2.4梯形公式例4.2：请用预估-校正公式（改进的欧拉公式）解右面初值问题：解：用下面的迭代公式，对每个点迭代4次，k=1,2,3,4。4.2.4梯形公式实例21该方程的精确解是计算结果如表4-2所示。表4-2计算结果4.2.4梯