高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)考前回顾02　复数、平面向量(知识清单+易错分析+23年高考真题+24年必威体育精装版模拟)(原卷版+解析).docxVIP

考前回顾02复数、平面向量（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年必威体育精装版模拟）

知识清单

1．复数的相关概念及运算法则

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类

①z是实数?b＝0；

②z是虚数?b≠0；

③z是纯虚数?a＝0且b≠0.

(2)共轭复数

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数eq\x\to(z)＝a－bi.

(3)复数的模

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2).

(4)复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．

(5)复数的运算法则

加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；

乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i

(c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R)

2．复数的几个常见结论

(1)(1±i)2＝±2i.

(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．

3．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

4．向量a与b的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

5．平面向量的数量积

(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cosθ.

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

6．两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.

(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

7．利用数量积求长度

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

8．利用数量积求夹角

设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).

9．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：

(1)O为△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).

(2)O为△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.

(3)O为△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).

(4)O为△ABC的内心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.

4．找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视．

易错提醒

1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．

2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．

3．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o