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2022年高考数学总复习：三角函数的性质及应用

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例2已知函数f(x)＝sinx－cosx－23sinxcosx(x∈R)．

2π

(1)求f()的值；3

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

2π32π1

[解析](1)由sin＝，cos＝－，

3232

2π3131

)＝()2)2)，

得f(－(－－23××(－

32222

2π

所以f(3)＝2.

π

22

(2)由cos2x＝cosx－sinx与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin(2x＋)，6

所以f(x)的最小正周期是π.

ππ3ππ2π

由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

26263

π2π

所以f(x)的单调递增区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．

63

『规律总结』

1．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识

(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．

(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx

中的“x”，采用整体代入求解．

π

①令ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，可求得对称轴方程．

②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．

③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．

(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0.

2．求解三角函数的性质的三种方法

(1)求单调区间的两种方法

①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω0)

的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．

②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．

(2)判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或

最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．

(3)三角函数周期的求法

①利用周期定义．

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2π

②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最

|ω|

π

小正周期为.

|ω|

③利用图象．

跟踪训练

G

enzongxunlian

1．已知ω0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx