与弦长面积有关的问题.pdfVIP

与弦长、面积有关的问题

xy22

(2019·黄山模拟)设F，F分别是椭圆D：＋＝1(a

12ab22

π

＞b＞0)的左、右焦点，过F作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B

23

两点，F到直线AB的距离为23，连接椭圆D的四个顶点得到的菱

1

形的面积为25.

(1)求椭圆D的方程；

(2)设过点F的直线l被椭圆D和圆C：(x－2)＋(y－2)＝4所截22

2

得的弦长分别为m，n，当m·n最大时，求直线l的方程．

解：(1)设F的坐标为(－c,0)，F的坐标为(c,0)(c＞0)，

12

则直线AB的方程为y＝3(x－c)，即3x－y－3c＝0，

|－3c－3c|

∴＝23，解得c＝2.

3＋－122

1

∵·2a·2b＝25，∴ab＝5，

2

又a＝b＋c，∴a＝5，b＝1，22222

x2

∴椭圆D的方程为＋y＝1.2

5

(2)由题意知，可设直线l的方程为x＝ty＋2，

|2t|

则圆心C到直线l的距离d＝，

t＋12

4

∴n＝22－d＝22，

t＋12

x＝ty＋2，

由x2得(t＋5)y＋4ty－1＝0，22

5＋y＝12

设直线l与椭圆D的交点坐标为(x，y)，(x，y)，1122

4t－1

∴y＋y＝－，yy＝，

12t＋5212t＋52

第1页共4页

25t＋12

∴m＝1＋t|y－y|＝2，

12t＋52

85·t＋1285

∴m·n＝＝≤25(当且仅当t＋1＝2

t＋524

t＋1＋2

t＋12

4

，即t＝±3时，等号成立)，

t＋12

∴直线l的方程为x－3y－2＝0或x＋3y－2＝0.