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九年级数学二次函数经典例题

14．如图，一条抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），

D为抛物线的顶点，点Px轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；

（3）过点P作直线l∥AC交抛物线于Q，是否存在以点A，P，Q，C为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

1

（4）坐标平面内一点M到点B的距离为1个单位，求DM+OM的最小值．

3

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴设此抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

将点C（0，3）代入，得a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）+4，2

∴顶点D（1，4），

设直线DB解析式为y＝kx+b，

将D（1，4），B（3，0）代入得{+=4，解得：{=−2，

3+=0=6

∴直线DB解析式为y＝﹣2x+6，

①如图1，当点P在点B左侧时，

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∵∠PCB＝∠CBD，

∴CP∥BD，

设直线CP解析式为y＝﹣2x+m，

将C（0，3）代入，得m＝3，

∴直线CP解析式y＝﹣2x+3，

3

当y＝0时，x=，

2

3

∴P（，0）；

2

②如图2，当P在B右侧时，

作P关于直线BC的对称N，延长CN交x轴于P，此时∠PCB＝∠CBD，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OC＝OB，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠CPB＝45°，

∴∠NBC＝45°，

∴△PBN为等腰直角三角形，

33

∴NB＝PB＝3−=，

22

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3

∴N（3，）；

2

设直线CN的解析式为：y＝nx+t，

3=31

=−

将C（0，3），N（3，）代入直线CN解析式y＝nx+t得{3，解得{2，

23+=

2=3

1

∴直线CN解析式为y=−x+3，

2

当y＝0时，x＝6，

∴P（6，0），

3

综上所述，点P坐标为（，0）或（6，0）．

2

（3）①如图3，当四边形APQC为平行四边形时，

∴CQ∥AP，CQ＝AP，

∵y＝3，

C

∴y＝3，

Q

令﹣x2+2x+3＝3，

解得：x1＝0，x＝2，2

∴Q（2，3），

②如图4，当四边形AQPC为平行四边形时，

AC∥PQ，AC＝PQ，

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∴y﹣y＝y﹣y＝3，

CAPQ

∵y＝0，

P

∴y＝﹣3，