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人教版八年级下学期数学练习题及答案

10．（4分）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，

F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，

若∠BAC＝30°，下列结论：

①△DBF≌△EFA；②AD＝AE；③EF⊥AC；④AD＝4AG；⑤△AOG与△EOG的面积

比为1：4．

其中正确结论的序号是（）

A．①②③B．①④⑤C．①③⑤D．①③④

【分析】若∠BAC＝30°，AB＝2AC，由于△ABD、△ACE都是等边三角形，显然

AD≠AE，而△DBF和△EFA中，∠DBF＝∠AFO＝60°，易证得∠FAE、∠DFB都是直

角，且F是AB中点，由此证得两个三角形全等，可得DF＝EA，进而可证得△DFG≌△

AGE，即AF＝2AG，AD＝4AG，运用排除法即可得到D选项是正确的．

【解答】解：Rt△ABC中，若∠BAC＝30°，设BC＝2，AC＝2，AB＝4；

∴AF＝2，AE＝2，

∵∠BAC+∠OAE＝30°+60°＝90°，即△EFA是直角三角形，

∴tan∠AEF＝＝，即∠AEF＝30°，EF平分∠AEC，

根据等边三角形三线合一的性质知：EF⊥AC，且O是AC的中点；（故③正确）

①∵F是AB的中点，∴AF＝BF；

根据等边三角形三线合一的性质知：DF⊥AB，

∵∠BAC＝30°，

∴∠AFO＝90°﹣∠BAC＝60°，即∠DBF＝∠AFE＝60°；

∵∠FAE＝30°+60°＝90°＝∠BFD，

∴△DBF≌△EFA，故①正确；

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②在Rt△ABC中，AB＞AC，

∵AB＝AD，AC＝AE，

∴AD＞AE，故②错误；

④由①的全等三角形知：DF＝EA，

又∵∠DFG＝∠EAG＝90°，∠DGF＝∠EGA，

∴△DFG≌△EAG，即AG＝GF，

∴AD＝2AF＝4AG，故④正确；

⑤由④知：G是AF中点，由已知设AB＝4，可以求出：EO＝3，AO＝，

∴S△EOG＝OE•（OA）＝×3×＝；

又S△AOG＝AG•AO•sin30°＝×1×＝，

故△AOG与△EOG的面积比为1：3，故⑤错误；

因此正确的结论是：①③④，

故选：D．

【点评】此题主要考查的是直角三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定以及图

形面积的求法，难度适中．

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