平面上曲线积分与路径无关的条.pptVIP

9.6平面上曲线积分与路线无关的条件一、平面曲线积分与路线无关的条件

010203040506在前面计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到,在一个例子中,以A为起点B为终点的曲线积分,若所沿的路线不同,则其积分值也不同,但在另一个例子中的曲线积分值只与起点和终点有关,与路线的选取无关.本节将讨论曲线积分在什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关.

Gyxo一、平面曲线积分与路线无关的条件BA如果在区域G内有1.曲线积分与路线无关的定义

(ii)对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分与路线无关,只与L的起点及终点有关;(iii)是D内某一函数的全微分,即在D内有(iv)在D内处处成立定理1设D是单连通区域.若函数在D内连续,且具有一阶连续偏导数,则以下四个条件两两等价:(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有

二、原函数计算举例若满足定理1的条件,则由上述证明可看到二元函数具有性质我们也称为的一个原函数.

例3计算曲线积分解由于

解

内容小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题

习题9-6P2212(2);3(2);作业

思考与练习解:

2.试应用曲线积分求的原函数.解这里在整个平面上成立由定理1,曲线积分只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.为此,取取路线为图21-22中的折线段于是有

证(i)(ii)如图21-19,设与为联结点A,B的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得所以

D内任意一点.由(ii),曲线积分与路线的选择无关,故当在D内变动时,其积分值是的函数,即有取充分小,使则函数对于x的偏增量(图21-20).(ii)(iii)设为D内某一定点,为

因为在D内曲线积分与路线无关,所以因直线段BC平行于x轴,故,从而由积分中值定理可得其中根据在D上连续,于是有

同理可证所以证得(iii)(iv)设存在函数使得因此于是由一点处都有以及P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在D内每

(iv)(i)设L为D内任一按段光滑封闭曲线,记L所围的区域为.由于D为单连通区域,所以区域含在D内.应用格林公式及在D内恒有的条件,就得到上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了它们是相互等价的.

例解应用定理1中的条件(iv)考察§2中的两个例子

问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.

例解

问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.

注由定理1可见,若原函数可用公式或则求全微分的