高考数学重难点培优全攻略(新高考专用)第12讲　空间向量与空间角(3大考点+强化训练)(原卷版+解析).docxVIP

第12讲空间向量与空间角（3大考点+强化训练）

[考情分析]以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．

知识导图

考点分类讲解

考点一：异面直线所成的角

设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ.

则(1)θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；

(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)

＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).

规律方法用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．

(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．

【例1】（2024高三·全国·专题练习）在直三棱柱（三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫作直三棱柱）中，若，，则异面直线与所成的角等于（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·全国·一模）在正四面体的侧面三角形的高线中，垂足不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是．

【变式2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知长方体的底面是边长为2的正方形，为其上底面的中心，在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为.

(1)求线段的长；

(2)求异面直线与所成的角.

考点二：直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，

则(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).

易错提醒(1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝eq\f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq\f(π,2)，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．

(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．

【例2】(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).

(1)证明：BD⊥PA；

(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值．

【变式1】(2023·泉州模拟)如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2B1C1＝2，D是AC的中点，E是BC的中点．

(1)证明：AB1∥平面DEC1；

(2)已知AB⊥BC1，CC1⊥平面ABC.求直线BC1与平面DEC1所成角的正弦值的最大值．

【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知在三棱锥中，，则直线与平面所成的角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，侧面与底面ABC垂直，．

(1)求证：．

(2)设，求与平面所成角的大小．

考点三：平面与平面的夹角

设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，

则(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；

(2)cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).

易错提醒平面与平面夹角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．

【例3】(2023·新高考全国Ⅰ)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.

(1)证明：B2C2∥A2D2；

(2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P.

【变式1】(2023·新高考全国Ⅱ改编)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．

(1)证明：BC⊥DA；

(2)点F满足eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))，求平面ABD与