微分中值定理及其应用.PPTVIP

前述内容，包括函数的极限、函数在某一点的连续性、可导性，考虑的都是函数在某一点的局部性质，是否可以利用已学的概念来讨论函数的某些全局性质呢？中值定理对此问题给出了肯定的回答。微分中值定理及其应用

一、内容概述中值定理包括从特殊到一般的三个定理，分别称作罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理。

费马(fermat)引理且存在证:设则

一、罗尔(Rolle)定理例如,

几何解释:物理解释:点击图片任意处播放\暂停变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.

1因为函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数f(x)在闭区间[a,b]上必能取到最大值M和最小值m,考虑两种可能的情况：2若m=M,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M(或m),因而在(a,b)内处处有3fˊ(x)=0，4因此可取(a,b)内任意一点作为ξ而使得fˊ(ξ)=0成立。3.定理的证明

若mM，因为f(a)=f(b)，因此m、M不可能同时是两端点的函数值，即最小值m和最大值M至少有一个在开区间(a,b)内部取得，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b).由条件(2)和费马定理推知fˊ(ξ)=0.

罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体位置，但这并不影响定理的应用；罗尔定理的条件是充分条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件中有一个不满足，则定理的结论就不一定成立。看如下例子：5.关于罗尔定理的两点说明

二、Rolle定理的条件的讨论（1）罗尔定理的条件缺一不可.

例2例3

罗尔定理的条件之一不满足其结论仍成立01例如02在x=0处不可导03在端点处函数值不相等04在闭区间上不连续05对以上三个函数Rolle定理结论均成立06

例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,

yy=f(x)BxOaξbCA2.图一

2.图二f(b)f(a)ABOaξbxyf(b)-f(a)b-aDC

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

弦AB方程为证几何解释:分析:

注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式作辅助函数

推论拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理

例2证

例3证由上式得

例5证分析:结论可变形为

例1设在[0，1]可导，且01证明存在使02例2设在[0，1]可导，且03证明存在使04

几何解释:

logo证作辅助函数

例4证分析:结论可变形为

01Rolle定理03Cauchy中值定理05注意定理成立的条件；02Lagrange中值定理04罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；06注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.四、小结

罗尔(Rolle)定理，拉格朗日定理，柯西(Cauchy)定理之间的关系定理及关系条件结论罗尔(Rolle)定理f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b),(a,b)内至少存在一点ξ,f’(ξ)=0(aξb)f(a)=f(b),拉格朗日定理(Lagrange)f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a,b)内至少存在一点ξ,柯西(Cauchy)定理f(x)，g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,g’(x)≠0,(a,b)内至少存在一点ξ,g’(x)=xf(a)=f(b)