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2021年中考数学压轴题复习题：二次函数

1．如图所示，已知二次函数y＝ax+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，2

对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴

下方且横坐标小于3，则下列结论：

①2a+b+c＞0；

②a﹣b+c＜0；

③x（ax+b）≤a+b；

④a＜﹣1．

其中正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c

＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在

点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质

得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直

线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利

用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣

2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．

解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线x＝1，

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∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，

∴当x＝﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②正确；

∵x＝1时，二次函数有最大值，

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；

∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，

∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，

即9a+3b+c＜﹣3+c，

而b＝﹣2a，

∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．

故选：A．

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