计算材料学基础第3章 蒙特卡罗方法.pdfVIP

第三章蒙特卡罗方法

及在材料科学研究中的应用

物理计算

确定微观状态确定宏观物理量

平衡态

统计计算

确定微观状态分布确定宏观物理量

平衡态

1

1

如果能采用一定的方式对系统的微观状态进行随机抽样，

则对平均值A的计算变成求

1M

AA(X)

Mi

Mi1

其中Xi为第i次抽样的微观状态，M为总抽样次数。根据大数

定律，极限

LimAA

M

M

成立。这说明原来带权重的积分统计平均值变成简单的算术平

均值。

问题:

如何对系统的微观状态进行随机模拟和抽样?

2

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蒙特卡罗方法

蒙特卡罗(MonteCarlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是

一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界

大战研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家

冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名

这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。基本思想：

根据待求问题的随机变化规律，人为的构造出一个合适的概

率模型，依照该模型进行随机统计实验，得到大量的样本，对这

些样本作统计平均，所得结果正好是待求问题的解。

需要指出的是，蒙特卡罗方法不仅在处理具有概率性质的问

题方面获得广泛的应用，对于具有确定性问题的计算也因其程序

简单等优点获得了广泛的应用。如定积分的计算。

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例：

利用蒙特卡罗方法评价圆周率的方法，在xy坐标系的第一

象限内，随机产生点（x，y），即x取[0，1]之间的随机数，y

取[0，1]之间的随机数，它将落在边长为1的正方形内。

然后判别此点是否满足：x2y21

若满足，则计数器Nf加1，这样Y

（0，1）（1，1）

共得到N个随机点，其中满足的

有N点。则可得

f

N四分之一圆面积（半径）r2

f1/4

N正方形面积（边长）2