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人教版八年级下学期数学练习题及答案

25．（7分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AD交对角线AC于点E，

连接BE，取BE的中点F，连接DF．

（1）请你根据题意补全图形；

（2）请用等式表示线段DF、AE、BC之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据已知条件画图即可；（2）取AE中点G，连接GF、GD，证明△DGF

2+GF22

是直角三角形，在Rt△DGF中，利用GD＝DF，可推导出DF、AE、BC之间的

数量关系．

【解答】（1）如图1：

2+BC22

（2）DF、BC、AE之间的数量关系是：AE＝4DF．

证明：取AE中点G，连接GF、GD．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴∠1＝∠2＝∠BAD＝30°，AB＝BC．

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∵点F是BE的中点，

∴GF是△ABE的中位线．

∴GF＝AB，GF∥AB．

∴∠3＝∠1＝30°．

∵ED⊥AD于D，

∴在Rt△ADE中，DG＝AG＝AE．

∴∠2＝∠4＝30°．

∴∠5＝60°．

∴∠FGD＝∠3+∠5＝90°．

∴在Rt△DGF中，GD2+GF2＝DF．2

∴（AE）2+（BC）2＝DF．2

即AE2+BC2＝4DF．2

【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的性质，解题的关键是通过辅

助线转化线段，把分散的线段集中在一个三角形中求解．

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