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人教版八年级下学期数学练习题及答案

25．（12分）如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△PMN

为等边三角形，MN＝4，点M、N、B、C在同一直线上，将△PMN沿沿水平方向向右以

每秒1个单位的速度移动，直至点M与点C重合时停止运动，设运动时间为t秒，当t

＝0时，点B与点N重合．

（1）求点P与点A重合时的t值．

（2）在运动过程中，设△PMN与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数

关系式，并注明自变量t的取值范围．

（3）若点D为AB边中点，点E为AC边中点，在运动过程中，是否存在点M，使得△

DEM为等腰三角形？若存在，请求出对应的t值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由条件可得出BC、AB及△PMN的高的长，分析可知点P与点A重合时C

落在MN中点上，由此可得到t的值；

（2）结合图形的特点进行分类讨论，分成0≤t≤4、4＜t≤6，6＜t≤8，8＜t≤10四种情

况考虑，利用相似三角形将所需的边都用t表示，就可以求出函数关系式；

（3）分三种情形分别求解即可；

【解答】（1）∵∠ACB＝90°∠ABC＝30°AC＝2，

∴BC＝6AB＝4

∵△PMN为等边三角形，MN＝4，

∴△PMN的高为2，

∴当P与A重合时C为MN中点（如图1所示），

∴BN＝8，

∴点P与点重合时t＝8；

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（2）有三种情况

①0≤t≤4时，如图2所示，作FE⊥MN于点E

∵∠ABC＝30°，△PMN为等边三角形MN＝t

∴∠MFN＝90°FM＝tFN＝MN＝t

∴FE＝t

∴S＝S＝＝t（0≤t≤4）；2

△FBN

②4＜t≤6时，如图3所示，作HG⊥MN于点G

∵∠ABC＝30°，△PMN为等边三角形MN＝t

∴BM＝HM＝t﹣4HG＝（t﹣4）

∴S＝•（t﹣4）•（t﹣4）＝（t﹣4）2

△HBM

∴S＝S﹣S＝t﹣（t﹣4）（4≤t≤6）；22

△FBN△HBM

③6＜t≤8时，如图4所示

∵∠N＝60°NC＝t﹣10

∴IC＝（t﹣10）

∴S＝•（t﹣10）•（t﹣10）＝（t﹣10）2

△ICN

222

∴S＝S△FBN﹣S△HBM﹣S△ICNt﹣（t﹣4）﹣（t﹣10）（6＜t≤8）；

④8＜t≤10时，如图3所示

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∵BM＝t﹣4，∠QMC＝60°，

∴MC＝10﹣t，QC＝（10﹣t），

2

∴S＝S＝•（10﹣t）•（10﹣t）＝（10﹣t）（8＜t≤10）；

△QMC

③存在，①当MD＝ME时，则M应落在DE的垂直平分线上，

∵点D为AB边中点，点E为AC边中点，

∴DE＝BC＝3，

∴此时MC＝1.5

∴t＝8.5．

②当MD＝DE＝3时，可得t＝7±．

③当DE＝EM时，t＝10﹣．

综上所述，满足条件的t的值为8.5或7±或10﹣．

【点评】本题考查了相似三角形性质、直角三角形性质、等腰三角形性质、垂直平分线

性质，解题的关键是要进行分类讨论找到重叠图形面积中t的取值范围，利用相似三角

形对应边成比例找到边与t的关系．

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