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专题14概率问题易错点

一．【学习目标】

1．了解互斥事务，相互独立事务和条件概率的意义及其运算公式．

2．理解独立重复试验的模型，会计算事务在n次独立重复试验中发生k次的概率．

二．【学问要点】

1．互斥事务与对立事务

(1)互斥事务：若A∩B为不行能事务(A∩B＝?)，则称事务A与事务B互斥，其含义是：事务A与事务B在任何一次试验中不会同时发生．

(2)对立事务：若A∩B为不行能事务，而A∪B为必定事务，那么事务A与事务B互为对立事务，其含义是：事务A与事务B在任何一次试验中有且仅有一个发生．

概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：．

(2)互斥事务的概率加法公式：

①P(A∪B)＝＝(A，B互斥)．

②P(A1∪A2∪…∪An)＝或P(A1＋A2＋…＋An)＝．(A1，A2，…，An互斥)．

③对立事务的概率：＝．

3．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事务A和B，在已知事务A发生的条件下，事务B发生的概率叫做条件概率，用符号

P(B|A)来表示，其公式为．

(2)条件概率具有的性质：

①；

②假如B和C是两个互斥事务，

则

4．相互独立事务

(1)对于事务A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称．

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，

P(AB)＝．

(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．

5．独立重复试验与二项分布

(1)两个相互独立事务A，B同时发生的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推广到n个相互独立事务，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．

∴随机事务A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．

∵基本领件的特点是随意两个基本领件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本领件不行能同时发生．∴②正确．

∵必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，随机事务的概率大于0，小于1，∴随意事务A发生的概率P（A）满意0≤P（A）≤1，∴③错误．

若事务A的概率趋近于0，则事务A是小概率事务，∴④错误

∴说法正确的有两个，

故选：C．

（二）事务的关系与运算

例2．抛掷一枚质地匀称的骰子，向上的一面出现随意一个点数的概率都是，记事务A为“向上的点数是奇数”，事务B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝()

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】依据P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），由此能求出结果．

练习1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()

A．A?DB．B∩D＝?

C．A∪C＝DD．A∪C＝B∪D

【答案】D

【解析】事务C“恰有一弹击中飞机”包含两种状况：一种是第一枚击中其次枚没中，其次种是第一枚没中其次枚击中。

事务D“至少有一弹击中”包含两种状况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中。

对于选项A，事务A包含在事务D中，故A正确。

对于选项B，由于事务B,D不能同时发生，故B∩D＝?正确。

对于选项C，由题意知正确。

对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必定事务；而B∪D为必定事务，所以A∪C≠B∪D.故D不正确。

选D。

练习2．下列说法正确的有()

①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．

②一次试验中不同的基本领件不行能同时发生．

③随意事务A发生的概率P(A)总满意0P(A)1.

④若事务A的概率为0，则事务A是不行能事务．

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】C

（三）互斥事务解题策略

例3.依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾难等级的频率分布条形图如图(乙)所示．

(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾难的概率；

(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾难影响，利润为500万元；若