【斜边中线的应用及构造】题集【B】(教师版).pdfVIP

【斜边中线的应用及构造】题集【B】

知识回顾

由矩形的性质可以推出，直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

【拓展】

（）已知，在中，，则．

（）已知，在中，，则．

（）已知，是直角三角形，，，则，

．

【总结】

①在直角三角形中，如果遇到斜边中点，优先考虑应用直角三角形斜边中线的性质．

②遇到直角三角形，可尝试取斜边中点，并连接直角顶点，应用直角三角形斜边中线的性质．

③直角三角形斜边中线一般可以用来证明线段的倍分关系及角的倍分关系．

④注意一定在已知直角三角形的前提下才能应用直角三角形斜边中线的性质．

⑤注意在应用直角三角形拓展的时候一定要证明，不可以当定理直接使用的．

1.有直角、有中点、直接应用

【典型模型】：

遇存在公共边的两个直角三角形时，要想到构造两个直角三角形斜边的中线．

如图，和有公共斜边．

辅助线作法：取中点，连接、，可证明=．

1

1.如图，在锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中

点．

图

（1）求证：．

（2）连接，，猜想与之间的关系，并证明猜想．

（3）当变为钝角时，如图，上述（）（）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，

不需证明；若结论不成立，说明理由．

图

【答案】（1）证明见解析．

（2）．

（3）结论（）成立，结论（）不成立．证明见解析．

【解析】（1）证明：如图，连接，，

∵、分别是、边上的高，是的中点，

∴，，

2

∴，

又∵为的中点，

∴．

（2）

在中，，

∵，

∴

，

∴．

（3）结论（）成立，结论（）不成立．

理由如下：

连接、，

在中，，

∵，

∴