考研数学绝对值不等式归纳总结.docx

考研数学绝对值不等式归纳总结

知识点

归纳总结

绝对值定义

对于任意实数a，若a≥0，则

绝对值性质

非负性：

对称性：|-a|=|a|

等价性：|a|^2=a^2或a^2=|a|（注意取值范围）

三角不等式：|

绝对值不等式解法

分段讨论法：根据绝对值的定义，将问题分为几个部分进行讨论，每部分对应一种绝对值的取值情况。

平方去绝对值法：对于形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式，可以通过两边平方的方式去掉绝对值符号，转化为二次不等式进行求解（需注意平方后可能引入的额外解）。

数形结合法：利用绝对值不等式的几何意义进行求解。

绝对值不等式应用

描述某些量之间的约束关系，如距离、误差等。

利用不等式性质求最值或证明不等式。

注意事项

在使用平方去绝对值法时，需要注意平方后可能引入的额外解，因此需要进行验证。

在使用分段讨论法时，需要正确划分讨论区间，并准确处理每个区间内的绝对值。

典型例题

例1：已知|x-2|=|2x-7|-|x-5|，则x的取值范围为（）。

A.2x5B.x5C.x≤2D.2≤x≤5E.x≥5或x≤2

解析：移项后利用绝对值的三角不等式进行求解，得出x的取值范围为x≥5或x≤2，故选E。

例2：设a、b为实数，则能确定|a|+|b|的值的是（）。

（1）已知|a+b|的值（2）已知|a-b|的值

解析：根据绝对值的三角不等式，|a+b|≤|a|+|b|和|a-b|≤|a|+|b|，无法确定|a|+|b|的具体值，所以两个条件单独都不充分。但联立两个条件后，可以确定a、b的取值情况（同号或异号），从而确定|a|+|b|的值，所以联合充分，故选C。