高等数学 教案【ch01】函数、极限和函数的连续性.docx

《高等数学》课程教案

课题：函数、极限和函数的连续性

教学目的：

1．了解函数极限的定义，会用它证明一些简单函数的极限。

2．了解无穷小，无穷大的概念、关系。掌握无穷小的比较。

3．掌握极限运算法则;了解两个极限存在准则;会用两个重要极限求极限。

4．加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。

5．会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。

课型：新授课

课时：

本章安排4个课时。

教学重点：

重点：极限运算法则

教学难点：

难点：用两个重要极限求极限

教学过程：

教学形式：讲授课，教学组织采用课堂整体讲授和分组演示。

教学媒体：采用启发式教学、案例教学等教学方法。教学手段采用多媒体课件、视频等媒体技术。

板书设计：

本课标题

函数、极限和函数的连续性

课次

2

授课方式

理论课□讨论课□习题课□其他□

课时安排

4

学分

共2分

授课对象

普通高等院校学生

任课教师

教材及参考资料

1.《高等数学》；电子工业出版社。

2.本教材配套视频教程及学习检查等资源。

3.与本课程相关的其他资源。

教学基本内容

教学方法及教学手段

课程引入

衔接导入

数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学。初等数学主要研究常量和相对静止状态，而高等数学主要研究变量和运动状态。

函数、极限和连续都是高等数学的基本概念。函数是描述客观世界中变量之间依赖关系的模型，是科学技术和经济等领域中表达自然规律的基本概念，也是高等数学的主要研究对象。极限和连续是研究微积分必备的工具。本章对函数、极限和函数连续性的介绍将为后续的学习打下基础。

参考以下形式：

1.衔接导入

2.悬念导入

3.情景导入

4.激疑导入

5.演示导入

6.实例导入

7.其他形式

本章基本知识汇总

第一节函数

一、数集与区间

高等数学中常用的数集包括自然数集（记为N）、整数集（记为Z）、有理数集（记为Q）和实数集（记为R）。

数值范围通常用区间表示。区间包括四种有限区间和五种无限区间。

1.有限区间

2.无限区间

二、邻域

定义1设a与δ是两个实数，且δ0，则称数集xa-δxa+δ,x∈R为a的δ

N(a,δ)=

式中，点a为该邻域的中心，δ为该邻域的半径（见下图）。

若把邻域N(a,δ)的中心a去掉，则所得的数集称为点a的去心邻域，记为N°

N°

三、函数的概念

1.函数的定义

我们在观察或研究某种自然现象或技术的过程中，常会遇到两种不同的量：一种是在某过程中保持不变的量，称为常量，如圆周率、重力加速度、北京至南京的直线距离等，通常用字母a、b、c等表示；另一种是在某过程中可在一定范围内取不同数值的量，称为变量，如自然界中的温度、变速运动物体的速度、经济问题中的商品的价格等，通常用字母x、y、z等表示。函数的实质就是描述变量之间依赖关系的一种数学模型。

定义2设x、y为两个变量，D为一个非空实数集合，若存在一个确定的对应法则f，使得数集D中的任意一个数x，按照f都有唯一确定的y值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作

y=f(x)，x∈D。

式中，x为自变量，y为函数或因变量，D为函数f(x)的定义域。

对于确定的x0∈D对应的唯一的y值y0，称为函数y=f(x)

f(x0)或f(x)

全体函数值的集合yy=f(x),x∈D称为函数y=f(x)的值域，记作

定义域和对应法则是确定一个函数的两个要素。因此，对于两个函数来说，当且仅当它们的定义域和对应法则都相同时才表示同一个函数，而与变量用什么字母表示无关。如函数y=f(x)，x∈D也可用y=f(t)，t∈D或u=f(x)，

2.函数的定义域

函数的定义域就是使式子有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。一般地，有以下几种基本情况：

（1）对于分式1P(x)，要求分母P(x)≠0

（2）对于偶次根式2nQ(x)(n为正整数)，要求被开方数Q(x)≥0

（3）对于对数式logaR(x)?(a0

（4）对于反正弦式arcsinS(x)和反余弦式arccosS

求函数定义域的方法是：观察多个函数表达式是否含上述几种基本情况。若函数表达式含上述几种基本情况中的一种或多种，则解相应的不等式或不等式组，得到函数定义域；若函数表达式不含上述几种基本情况中的任何一种，则说明对自变量取值没有任何限制，所以函数定义域为全体实数，即D=(-∞,+∞)。

3.函数值

在函数y=f(x),x∈D的表达式中，自变量x用数x0∈D代入所得到的数值就是函数值yx=

4.函数的表示法

函数f(x)的具体表达方式是不尽相同的，这就产生了函数的不同表示法。函数常用的表示法有三种：解析法、列表法和图形法。

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