高等数学 教案【ch07】空间解析几何与向量代数.docx

《高等数学》课程教案

课题：空间解析几何与向量代数

教学目的：

1．了解空间直角坐标系及向量的概念。

2．掌握向量的线性运算以及向量的乘法。

3．了解空间平面和直线。

4．了解介绍空间曲面和空间曲线。

课型：新授课

课时：

本章安排10个课时。

教学重点：

重点：向量的线性运算以及向量的乘法

教学难点：

难点：向量的线性运算以及向量的乘法；空间平面和直线、空间曲面和空间曲线。

教学过程：

教学形式：讲授课，教学组织采用课堂整体讲授和分组演示。

教学媒体：采用启发式教学、案例教学等教学方法。教学手段采用多媒体课件、视频等媒体技术。

板书设计：

本课标题

空间解析几何与向量代数

课次

5

授课方式

理论课□讨论课□习题课□其他□

课时安排

10

学分

共2分

授课对象

普通高等院校学生

任课教师

教材及参考资料

1.《高等数学》；电子工业出版社。

2.本教材配套视频教程及学习检查等资源。

3.与本课程相关的其他资源。

教学基本内容

教学方法及教学手段

课程引入

衔接导入

空间解析几何是用代数的方法研究空间图形的一门数学学科，它在其他学科特别是工程技术上的应用比较广泛。此外，我们在讨论多元函数微积分时，空间解析几何也能给多元函数提供直观的几何解释。因此在学习多元函数微积分之前，先介绍空间解析几何的知识。

本章首先引入在工程技术上有着广泛应用的空间直角坐标系及向量的概念；然后介绍向量的线性运算（将向量线性运算代数化），以及向量的乘法（向量的数量积与向量积）；接着以向量为工具介绍空间平面和直线；最后介绍空间曲面和空间曲线。

参考以下形式：

1.衔接导入

2.悬念导入

3.情景导入

4.激疑导入

5.演示导入

6.实例导入

7.其他形式

本章基本知识汇总

第一节空间直角坐标系

一、空间直角坐标系

过空间一定点O作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点，具有相同的单位长度。这三条数轴分别称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴。各轴正向之间的顺序要求符合右手法则（见下图），即用右手握住z轴，让右手的四指从x轴的正向以π2的角度转向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向

这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系。与之相对应的是左手空间直角坐标系。在数学中通常使用右手空间直角坐标系，在其他学科方面因应用方便而异。在右手空间直角坐标系中，点O称为坐标原点，三条坐标轴中的任意两条所确定的平面称为坐标面。它们分别是：由x轴及y轴确定的xOy平面；由y轴及z轴确定的yOz平面；由x轴及z轴确定的xOz平面。这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（见下图）。位于x、y、z轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限。从第Ⅰ卦限开始，在xOy平面上方的卦限，按逆时针方向依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的卦限依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。

二、空间直角坐标系内点的坐标表示方法

设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x、y、z轴的平面，依次交x、y、z轴于点P、Q、R。设点P、Q、R在x、y、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么就得到与点M对应的唯一确定的有序实数组(x,y,z)。反之，设给定一有序实数组(x,y,z)，且它们分别在x、y、z轴上依次对应于点P、Q、R，若过点P、Q、R分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三张平面确定了唯一的交点M。这样，空间的点M就与一有序实数组(x,y,z)建立了一一对应关系（见图）。有序实数组(x,y,z)称为点M的坐标，记作M(x,y,z)，这样就确定了点M的空间坐标，其中x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标。

坐标面及坐标轴上点的坐标有一定特征，如xOy面上点的坐标为(x,y,0)，yOz面上点的坐标为(0,y,z)，xOz面上点的坐标为(x,0,z)，x轴上点的坐标为(x,0,0)，y轴上点的坐标为(0,y,0)，z轴上点的坐标为(0,0,z)，原点O的坐标为(0,0,0)。

三、空间内两点之间的距离公式

设M1x1

d=M

证明：过点M1和M2作三个分别垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围成了一个以

因△M

d2

又因△M

M1

从而d2

又因M1

PN=

NM

故

d2

第二节向量及其坐标表示法

一、向量的概念

客观世界有各种各样的量，一类如时间、质量、长度、距离等，它们只有大小没有方向；另一类如力、速度、位移、加速度等，它们不仅有大小而且有方向。对于后者需要引进向量的概念。

既有大小又有方向的量称为向量。向量通常用一条有方向的线段即有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

记法：以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB（