高等数学 教案【ch08】多元微分学.docx

《高等数学》课程教案

课题：多元微分学

教学目的：

1．了解多元函数的基本概念。

2．掌握偏导数和全微分的计算方法。

3．会求隐函数的偏导数。

4．会求多元函数的极值。

课型：新授课

课时：

本章安排8个课时。

教学重点：

重点：导数和全微分的计算方法

教学难点：

难点：求隐函数的偏导数和多元函数的极值

教学过程：

教学形式：讲授课，教学组织采用课堂整体讲授和分组演示。

教学媒体：采用启发式教学、案例教学等教学方法。教学手段采用多媒体课件、视频等媒体技术。

板书设计：

本课标题

多元微分学

课次

4

授课方式

理论课□讨论课□习题课□其他□

课时安排

8

学分

共2分

授课对象

普通高等院校学生

任课教师

教材及参考资料

1.《高等数学》；电子工业出版社。

2.本教材配套视频教程及学习检查等资源。

3.与本课程相关的其他资源。

教学基本内容

教学方法及教学手段

课程引入

衔接导入

在前面已经讨论了含有一个自变量的函数（一元函数），但在自然科学和工程技术中，经常会遇到含有两个及两个以上自变量的函数，即多元函数。本章将以二元函数为主讨论多元函数的微分，多元函数的相关性质可以类推。

二元函数与一元函数有许多相似之处，但在某些方面存在本质区别，学习时应注意它们的联系与区别。

参考以下形式：

1.衔接导入

2.悬念导入

3.情景导入

4.激疑导入

5.演示导入

6.实例导入

7.其他形式

本章基本知识汇总

第一节多元函数的基本概念

一、平面区域

平面上由几条曲线围成的部分平面称为平面区域，一般用D表示。围成平面区域的曲线称为该区域的边界线。如满足

（1）x2

（2）x+y0，

（3）x

（4）y2

的点集都是平面区域，它们对应的平面区域见下图。

2

12

包括边界线的平面区域称为闭区域，如图1和图3所示；不包括边界线的平面区域称为开区域，如图2和图4所示。若一个区域可以被一个适当大小的圆覆盖，则称该区域为有界区域，如图1和图3所示；否则称为无界区域，如图2和图4所示。

二、多元函数的概念

定义1（二元函数的定义）设有三个变量x、y和z，D是平面上的一个区域，若当变量x、y取区域D内的任意一点(x,y)时，按照某一确定的对应法则f，变量z总有唯一确定的值与之对应，则称

z=f(x,y)。

区域D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量，数集(x,y)

对于定义域D内的一点(x0,y0

f(x0,

类似地，可以定义三元函数、四元函数等。二元及二元以上的函数，统称为多元函数。多元函数的定义域、函数值和对应法则的求法与一元函数的定义域、函数值和对应法则的求法基本相似。

三、二元函数的极限

定义2设有二元函数z=f(x,y)，若当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时，f(x,y)总趋于一个确定的常数A，则称

limx→x0y→y

四、二元函数的连续

定义3设函数f(x,y)在点(x

limx→x0

则称函数f(x,y)在点(x

若函数z=f(x,y)在区域D内处处连续，则称函数z=f(x,y)在区域D内连续。二元连续函数的图形是没有空隙和裂缝的连续曲面。

根据极限四则运算法则及有关复合函数的极限定理，可以证明，二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续的。由此可以得出，二元初等函数在其有定义的区域内是连续的。

定理1（最值定理）设函数z=f(x,y)在闭区域D上连续，则函数z=f(x,y)在闭区域D上必存在最大值和最小值。

定理2（介值定理）设函数z=f(x,y)在闭区域D上连续，且z1和z2为D上两个不同的函数值，若数C介于z1

f(ξ,η)=C。

第二节偏导数

一、偏导数的概念

在一元函数微分学中，我们研究过函数y=f(x)的导数，即函数y对于自变量x的变化率。函数y=f(x)在x处的导数是指当自变量在x处有一个增量Δx时，函数的增量f(x+Δx)-f(x)与自变量的增量Δx的比值在自变量增量Δx→0时的极限，即

dydx

对于多元函数，我们也常常需要研究它对某个自变量的变化率的问题，这就有了偏导数的概念。

定义4设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的某个邻域内有定义，当自变量y保持定值y0不变，而自变量x在x

Δz

若极限

lim

存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,

?z?xx=x0y=

即

fx

类似地，可以定义z=f(x,y)在点(x0,

?z?yx=x0y=

即

fy(

若函数z=f(x,y)在区域D内的任意一点处对x的偏导数都存在，则这个偏导数是x、y的函数，此函数称为函数z=f(x,y)对自变量x