高等数学 课件【ch03】导数的应用.pptx

导数的应用第三章高等数学高等职业教育数字课程改革创新系列教材

01微分中值定理

微分中值定理本节将介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这三个定理统称为微分中值定理。它们揭示了函数在某区间上的整体性质及函数在该区间内与某一点的导数之间的关系。

微分中值定理微分中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础，又是解决微分学自身发展问题的一种理论模型。它们在一元函数微分学的理论及应用中都有十分重要的作用。

一、罗尔定理如果函数y=f（x）满足如下三个条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点，使得。微分中值定理

微分中值定理对于定理1，这里不做证明。为了方便理解，可借助图形加以说明。

微分中值定理一条在闭区间上的连续曲线，如果其上每点（端点除外）都有不垂直于x轴的切线（曲线光滑），并且在曲线两个端点处的纵坐标相同。那么在该曲线上至少有一点的切线平行于x轴。这就是罗尔定理的几何意义。

二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中，这个条件相当特殊，限制了该定理的应用。拉格朗日在罗尔定理的基础上做了进一步研究，取消了罗尔定理中这个条件，提出了微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理。微分中值定理

微分中值定理定理2（拉格朗日中值定理）设函数满足：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导，那么在内至少存在一点,使得。上式也可表示成。

微分中值定理显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理在时的特殊情形。推论1如果函数在区间内恒有，那么函数在内是一个常数，即（C为常数）。

证明在区间（a，b）内任取两点x1、x2，且x1x2，则函数f（x）在区间[x1，x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在，使得。微分中值定理

微分中值定理三、柯西中值定理将拉格朗日中值定理加以推广，就得到了柯西中值定理。定理3（柯西中值定理）设函数f（x）与g（x）满足以下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导。

02洛必达法则

洛必达法则在第一章中，我们计算过0/0型或∞/∞型未定式的极限，但往往需要经过适当的变形转化。为可运用极限的运算法则或重要极限的形式才可以进行计算，且转化时没有统一的变形方法，增加了求极限的难度。

一、0/0型和∞/∞型未定式定理4（洛必达法则）?如果函数f（x）与g（x）满足如下条件:洛必达法则

洛必达法则这个法则告诉我们，如果为0/0型或∞/∞型未定式极限，那么在上述条件下可转化为。在运用洛必达法则求极限的过程中，若仍是未定式，且、仍满足洛必达法则的条件，则。

洛必达法则每次在运用洛必达法则之前都必须判断极限是否是0/0型或∞/∞型，否则会出错。例如，根据洛必达法则，可以得到。

并不是所有的0/0型或∞/∞型未定式极限都可以运用洛必达法则求解。例如，是0/0型未定式极限，但分子分母分别求导后得到，这个极限不存在，故洛必达法则失效，不能使用。洛必达法则

洛必达法则其实原极限是存在的，正确解法是。每次运用洛必达法则后，都需要整理简化极限式，并将存在极限且不影响未定式的因式分离出来，以简化后面的计算。

03函数的单调性与极值

函数的单调性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性，但这些方法的适用范围小、技巧性强，因此不具有一般性。本节将以导数为工具，介绍判定函数单调性与极值的一般方法。

函数的单调性与极值一、函数的单调性从函数的几何图形来看，如果函数y=f（x）是单调增加的，那么这条曲线沿轴正向是上升的。

函数的单调性与极值一、函数的单调性曲线上每点的切线斜率都是负的，f’（x）0。

函数的单调性与极值可见，函数的单调性与其导数的符号