高等数学 课件【ch06】微分方程.pptx

微分方程第六章高等数学高等职业教育数字课程改革创新系列教材

01微分方程的基本概念

微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的变化规律进行研究。因此寻求变量之间的函数关系在实践中具有重要意义。在许多实际问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系。

微分方程的基本概念但是根据问题所提供的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，即所谓的微分方程。微分方程建立后，对它进行研究，找出未知函数，这就是解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种较简单的解法。

已知直角坐标系中的一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点P（x，y）处的切线斜率等于该点纵坐标的平方，求此曲线的方程。设所求曲线的方程为y=y（x），这是待求的未知函数。微分方程的基本概念

微分方程的基本概念设一物体从A点出发做直线运动，在任一时刻的速度为运动时间的两倍，求物体的运动方程。首先建立坐标系。取A点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向，并设物体在t时刻到达M点，其坐标为s（t）。

微分方程的基本概念上述两例的方程都含有未知函数的导数，一般地，含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。若微分方程中的未知函数为一元函数，则称为常微分方程。由于我们仅研究常微分方程，因此将常微分方程简称为微分方程，有时简称为方程。

若微分方程解中所含独立的（不能合并的）任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为该微分方程的通解。若在微分方程通解中的任意常数中取定一组固定常数，则得到的解称为该微分方程的特解。一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题。求解某初值问题，就是求微分方程的特解。微分方程的基本概念

微分方程的基本概念一般地，微分方程的一个解的图形是一条平面曲线，称为微分方程的积分曲线。通解的图形是平面上的一簇曲线，称为微分方程的积分曲线簇。特解的图形是积分曲线簇中的一条确定的曲线。这就是微分方程解的几何意义。

02一阶微分方程

一、可分离变量的一阶微分方程因为方程中的变量可以完全地分离到等式两边，所以对于这样的方程可以两边同时积分。注：由于方程是一阶微分方程，通解中含有一个任意常数C，因此不必在求两个积分时都加C；而只要先写出被积函数的一个原函数，再在等式的某一边明显地加上C，即得方程的通解。一阶微分方程

一阶微分方程由此例可以看出，积分后的对数中虽然出现了绝对值，但是可以合并到任意常数中，这与积分后没加绝对值的效果一样。因此，为方便起见，今后凡遇到积分后是对数的情形，一律不加绝对值，仅作如下简化处理：分离变量得。

二、齐次方程一阶微分方程形式为的微分方程称为齐次方程。求解这类方程可令，则，原方程化为。

三、一阶线性微分方程形式为的微分方程称为一阶线性微分方程。若，则称方程为一阶齐次线性微分方程。一阶微分方程

一阶齐次线性微分方程的解法一阶微分方程不难看出，一阶齐次线性微分方程是可分离变量的方程。分离变量得，两边积分得。

一阶非齐次线性微分方程的解法一阶非齐次线性微分方程。与其对应的一阶齐次线性微分方程。一阶微分方程

03可降阶的微分方程

可降阶的微分方程二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对于有些高阶微分方程，可以通过代换转换为低阶微分方程求解。这种类型的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。

一、型微分方程可降阶的微分方程对这类微分方程只需要进行n次积分就可得到含有n个任意常数的通解。

二、型微分方程因方程中不显含y，故令，则。原方程化为。可降阶的微分方程

可降阶的微分方程三、型微分方程因方程中不显含x，故令，则