平面分析-等参单元.pptVIP

6.1四节点矩形单元位移函数**平面问题有限元分析-等参单元这里引入一个局部坐标系?、?，这样可以推出比较简洁的结果。如图所示，取矩形单元的形心o为局部坐标系的原点，?和?轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系式中：、——矩形形心处坐标。矩形形心处坐标以及矩形长、宽可由下式计算7.1四节点矩形单元位移函数**平面问题有限元分析-等参单元3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)在局部坐标系中，节点i的坐标是，其值分别为±1。如节点1在局部坐标系下的坐标为（－1，－1）。7.1四节点矩形单元位移函数**平面问题有限元分析-等参单元由于矩形有4个节点，共8个自由度，可以选择有8个待定参数的位移模式，如下该函数称为双线性函数。将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数?1，?2，…，?87.1四节点矩形单元位移函数**平面问题有限元分析-等参单元4(-1,1)2(1,-1)3(1,1)1(-1,-1)7.1四节点矩形单元位移函数**平面问题有限元分析-等参单元求出α1,α2,α3,α4；α5,α6,α7,α87.1四节点矩形单元位移函数**平面问题有限元分析-等参单元式中：——矩形单元的形函数，i＝1，2，3，4；——形函数矩阵；——单元节点位移列阵，，i＝1，2，3，4。3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)7.1四节点矩形单元位移函数**平面问题有限元分析-等参单元（i＝1，2，3，4）形函数的表达式为3(1,1)2(1,-1)1(-1,-1)4(-1,1)7.1四节点矩形单元位移函数**平面问题有限元分析-等参单元引入符号，，i＝1，2，3，4，则上式可以统一写为可以看出，矩形单元的形函数具有和三角形单元形函数同样的性质，即：形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质；在单元内任意点上，四个形函数之和等于1；单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关。有关证明过程比较简单，请自行推导。7.2四节点矩形单元应变与应力矩阵**平面问题有限元分析-等参单元式中的应变转换矩阵的子块（i＝1，2，3，4）为有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求出单元内任意点的应变，将位移代入几何方程，得7.2四节点矩形单元应变与应力矩阵**平面问题有限元分析-等参单元7.2应四节点矩形单元变与应力矩阵**平面问题有限元分析-等参单元求得应变之后，再将应变代入物理方程，便可推导出以节点位移表示的应力，如下式中，应力矩阵为其子块（i＝1，2，3，4）为7.2四节点矩形单元应变与应力矩阵**平面问题有限元分析-等参单元由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了??项（即相当于xy项），把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从的表达式中看出。另外四边形单元的位移模式中的与三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边界上(?=±1或?=±1)，位移是按线性变化的，显然在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。7.2四节点矩形单元应变与应力矩阵**平面问题有限元分析-等参单元由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。正应力、和剪应力均沿?、?两个方向线性变化，即沿x、y两个方向线性变化。正因为如此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。但是，矩形单元也有一些明显的缺点，矩形单元不能适应斜交的边界和曲线边界，不便于对不同部位采用不同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。7.3四节点矩形单元刚度矩阵**平面问题有限元分析-等参单元矩形单元刚度矩阵的推导过程与三节点三角形单元类似，即，由前文可知的推导过程与形函数的具体表达形式、节点个数均无关，该表达式具有普遍意义。若单元厚度t为常量，则可以进一步表示为将单元刚度矩阵写成子块的形式，如下7.3四节点矩形单元刚度矩阵（r、s＝1，2，3，4）上式中每一个子块矩阵均为2行×2列，单元刚度矩阵中的子块矩阵的表达式为将