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北京市十一学校2024-2025学年高三下学期2月教与学诊断数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，且，则（????）

A． B．1 C． D．0

2．已知复数满足，则（???）

A．1 B． C．2 D．

3．若且，则实数m的值为（???）

A．1 B． C． D．1或

4．已知，则（???）

A． B． C． D．

5．已知直线和圆相离，则m的取值范围为（???）

A． B． C． D．

6．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（???）

A． B． C． D．

7．已知数列是等差数列，其前n项和为，则“，使得”是“，使得”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知双曲线的右焦点为F，原点为O，若双曲线上存在两个点A和B，使得四边形为正方形，则双曲线的离心率为（???）

A． B． C． D．

9．如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（???）

A．平面截正方体所得截面为等腰梯形

B．平面平面

C．存在点，使得平面

D．存在点，使得

10．在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，其表达式为：，其中自变量L，K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值Q表示产量，常数A是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数.已知在某企业中，，且时，时，则当时，对应的约为（???）

参考数据：，，，，

A． B． C． D．

二、填空题

11．抛物线上的点到其焦点F的距离的最小值为.

12．写出满足的一组和，，．

13．如下图，在梯形中，，，，，，则，若是线段上的动点，且，则的最小值为.

14．如图，函数的图象和函数的图象的连续两个交点为，若，则的取值范围为.

15．已知数列满足，则下列说法中，正确的是

①当时，对任意的，数列一定是有限数列；

②当，时，若数列是无限数列，则数列一定单调递增；

③存在，使得对任意的k，数列都一定是有限数列；

④存在一组k和，使得数列是单调递减的无限数列．

三、解答题

16．如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点．

(1)求证：平面；

(2)已知平面，

①求二面角的正弦值：

②点到平面的距离.

17．在中，角A，B，C所对的边分别为．从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：①②③．

(1)求的值；

(2)当时，求的面积.

18．某大学附属中学高三年级同时选考物理、化学、生物的学生共有400人，其中A类班型140人，B类班型180人，C类班型80人，现采用分层抽样的方法，从该年级的所有同时选考物理、化学、生物的学生中抽取20人，调查其各科在考试中“失误丢分多于5分”的情况，并按照班型进行各专项人数汇总，数据统计如表：

“失误丢分多于5分”人数

语文

数学

英语

物理

化学

生物

A类班型

4

1

2

2

1

3

B类班型

6

2

1

5

1

6

C类班型

1

2

1

1

2

1

若同一学生不同学科是否“失误丢分多于5分”相互独立，不同学生同一学科是否“失误丢分多于5分”也相互独立.

(1)在抽取的20人中，A类班型、B类班型、C类班型各有多少人；

(2)从上表中物理“失误丢分多于5分”的学生中随机选取2人，记为选出的B类班型的人数，求的分布列和数学期望：

(3)从A、B、C三类班型中各随机抽取一人，将其“失误丢分多于5分”的科目数量记作，，，直接写出它们的期望，，的大小关系.

19．已知椭圆方程，椭圆上有三个点，，．

(1)求椭圆的标准方程，并求椭圆的离心率：

(2)设是椭圆上的动点，且直线关于直线对称，求直线的斜率.

20．已知函数，直线l为曲线在点处的切线.

(1)当时，求出直线的方程；

(2)若，求的最值；

(3)若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．

21．对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定．

(1)若，，请直接写出集合和；

(2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由；

(3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.

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《北京市十一学校2024-2