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上海市吴淞中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知全集，集合，则.

2．不等式的解集是.

3．已知，是第四象限角，则.

4．若函数，则.

5．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是．

6．已知幂函数在区间上是严格增函数，则.

7．已知，则．

8．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是.

9．设，则函数的所有零点之和为．

10．已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是.

11．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）.不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是.

12．设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为

二、单选题

13．已知，则“”是“”的（???）条件．

A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要

14．设，则下列运算中正确的是（????）

A． B．

C． D．

15．存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

16．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：

①若，则；

②若，则．

其中正确的是（????）

A．①与②均正确 B．①正确，②不正确

C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确

三、解答题

17．化简：.

18．已知函数.

(1)求；

(2)求函数的单调递增区间.

19．已知函数的表达式为.

（1）当时，求证：在上是严格减函数；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

20．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第天的打卡人数为万人．

(1)经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天近似地满足下表：

（天）

10

14

18

22

26

30

（元）

131

135

139

143

139

135

现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元）与第天的关系，并求出该函数的解析式；

(2)确定的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入（，为正整数）的最小值（单位：万元）．

（注：日营业收入日打卡人数人均消费）．

21．已知，定义函数表示不小于的最小整数.例如：.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)求函数的值域，并求满足的实数的取值范围；

(3)设，若对于任意的，都有，求实数的取值范围.

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《上海市吴淞中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

C

C

A

A

1．

【分析】利用集合的补集运算即可得解.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

2．

【分析】将分式不等式化为整式不等式，即可求解.

【详解】不等式可化为，解得.

故答案为：.

3．

【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解.

【详解】因为，是第四象限角，

则，可得.

故答案为：.

4．/

【分析】根据分段函数的解析式求函数值.

【详解】因为，，故.

故答案为：

5．

【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得.

【详解】设扇形的半径为，圆心角为，

依题意可得，则，

所以，

当且仅当，即时取等号，

即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值.

故答案为：.

6．

【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.

【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，

所以，解得.

故答案为：

7．0

【分析】将齐次正余弦的分式，利