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两直线的交点与距离问题

(1)经过两直线l：x－2y＋4＝0和l：x＋y－2＝0的交12

点P，且与直线l：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为4x＋3y－63

＝0__.

x－2y＋4＝0，

解析：由方程组得x＝0，y＝2，即P(0,2)．因

x＋y－2＝0

44

为l⊥l，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，3

33

即4x＋3y－6＝0.

(2)若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，

则直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1__.

解析：方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2

＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.

|2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|

由题意知＝，

k＋12k＋12

1

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.

3

1

∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，3

即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

1

方法二当AB∥l时，有k＝k＝－，

AB3

1

直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，3

即x＋3y－5＝0.

当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．

∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

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1.两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，

得到的方程组的解，即交点的坐标．

2.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐

标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定

系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．

3．两种距离的求解思路

(1)点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必

须为一般式．

(2)两平行线间的距离的求法

①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任

意一点到另一条直线的距离．

②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中

x，y的系数化为相同的形式)．

(1)若动点A，B分别在直线l：x＋y－7＝0和l：x＋y－5＝0上12

移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(A)

A．32B．22

C．33D．42

解析：依题意知AB的中点M的集合为与直线l：x＋y－7＝01

和l：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值2