线性方程组求解直接法.pptx

解线性方程组的直接法;2.1 引言;对一般线性方程组:Ax=b,其中

;(1)?输入系数矩阵A和右端向量b；

(2)计算系数矩阵A的行列式值D，如果D=0，则输出错误信息，结束，否则进行第(3)步；

(3)对k=1,2,···,n，用b替换A的第k列数据，并计算替换后矩阵的行列式值Dk；

(4)计算并输出x1=D1/D，x2=D2/D，····,xn=Dn/D，结束。

但克莱姆法则只适用于低阶方程组，高阶方程组工作量太大，故一般用数值方法求解。数值方法分两类：

1.直接法

2.迭代法;2.2Gauss消元法;Gauss消元的目的;消元过程(化一般方程组为上三角方程组);第一轮消元：

计算3个数:[m21m31m41]T=[a21a31a41]T/a11

用-m21乘矩阵第一行后加到矩阵第二行;

用-m31乘矩阵第一行后加到矩阵第三行;

用-m41乘矩阵第一行后加到矩阵第四行;

其系数增广矩阵变为：

;第二轮消元：

计算2个数：[m32m42]T=[a32(1)a42(1)]T/a22(1)

用-m32乘矩阵第二行后加到矩阵第三行;

用-m42乘矩阵第二行后加到矩阵第四行;

其系数增广矩阵变为：;第三轮消元：

计算:m43=a43(2)/a33(2)

用-m43乘矩阵第三行后加到矩阵第四行;

其系数增广矩阵变为：;其对应的上三角方程组为;若对于一般的线性方程组Ax=b，其消元过程的计算公式为：（k=1,2,…,n-1）;回代过程(解上三角方程组);回代过程的计算公式：;工作量计算：

消去过程：

“÷”：第k步，n-k次，共

(n-1)+(n-2)+……+1=n(n-1)/2

“×”：第k步，(n-k)(n-k+1)次，共

(n-1)n+(n-2)(n-1)+……+1×2=(n3-n)/3

总工作量： s1=n(n-1)/2+(n3-n)/3

回代过程：

“÷”：n

“×”：1+2+……+(n-1)=n(n-1)/2

总工作量：s2=n+n(n-1)/2=n(n+1)/2;故Gauss消元法的总工作量为：

s=s1+s2=n2+(n3-n)/3

克莱姆法则求解的工作量为：

“×”：（n+1个n阶行列式的值）(n+1)(n-1)n!

“÷”：n

故总工作量为：[(n+1)(n-1)]n!+n

当n=6时,Gauss消元法工作量为106;而克莱姆法则求解工作量为25206。

;定理：约化的主元素ak+1,k+1(k)≠0(k=0,1,···,n-1)的充分必要条件是矩阵A的各阶顺序主子式不为零。即;推论:如果A的顺序主子式Dk≠0(k=1,···,n-1)，则Gauss消元法中的约化主元可以表示为;例 用高斯消元法求解方程组;矩阵的三角分解：;将A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U???乘积的算法称为矩阵A的三角分解算法。;定理：设A为n阶矩阵，若A的顺序主子式Di≠0（i=1,2,…n-1）,则A可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。

由Gauss消元过程可推得

L＝

U即为Gauss消元后所得的上三角方程的系数矩阵。;例对矩阵A＝作LU分解。

解由Gauss消去法可得，

m21=0，m31=2，m32=－1。

故

A＝＝LU;如果已经有A=LU则AX=b=LUX=b，;基本思想：Gauss消元法中，若主元akk(k)太小会使误差增大，故应避免采用绝对值小的元素作主元。最好每一步选取系数矩阵中（或消元后的低阶矩阵中）绝对值最大的元素作主元，以具较好的数值稳定性。;（用四位浮点数计算，精确解舍入到4位有效数字为：x1*=-0.4904,x2*=-0.05104,x3*=0.3675）;其中，m21=-1.000/0.001=-1000

m31=-2.000/0.001=-2000

m32=4001/2004=1.997

解为x1=-0.4000,x2=-0.09980,x3=0.4000

(x1*=-0.4904,x2*=-0.05104,x3*=0.3675)

显然，此解并不准确。;《方法二》交换行，避免绝对值小的主元作除数。;;基本思想：设Ax＝b的增广矩阵为;例：用列主元法解;第二列的后两个数中选出主元2.5;列主元矩阵的三角分解：