中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国通用)专题53固定面积的存在性问题(原卷版+解析).docxVIP

专题53固定面积的存在性问题

【题型演练】

一、解答题

1．【探索发现】

如图1，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为______．

【拓展应用】

如图2，在中，，BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值用含a、h的代数式表示；

【灵活应用】

如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，直接写出该矩形的面积．

2．已知二次函数（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求C点坐标，并判断b的正负性；

（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA=1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC，

①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；

②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.

3．“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由四边形得，化简得：．

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长就是该方程的一个正根(如实例二图)．

根据以上阅读材料回答下面的问题：

（1）如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是，乙图要证明的数学公式是，体现的数学思想是；

（2）如图2，按照实例二的方式构造，连接，请用含字母、的代数式表示的长，的表达式能和已学的什么知识相联系；

（3）如图3，已知，为直径，点为圆上一点，过点作于点，连接，设，，求证：．

4．【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线、剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_____________．

【拓展应用】

如图②，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，则矩形面积的最大值为_________．（用含的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料，经测量，，，且，，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积．

5．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB＜BC)的对角线的交点O旋转(①→②→③)，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

(1)该学习小组成员意外的发现图①中(三角板一边与CC重合)，BN、CN、CD这三条线段之间存在一定的数量关系：CN2＝BN2+CD2，请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；

(2)在图③中(三角板一直角边与OD重合)，试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系，直接写出你的结论．

(3)试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，连接CD，∠ADC＝120°，把△ADC绕点A逆时针旋转得到（旋转后点C、D的对应点分别为、），设旋转的度数为m（0°≤m≤360°）．

（1）当m＝30°时，如图2，连接C并延长，交AB于点E．请直接写出∠AC的度数；

（2）在（1）的条件下，请判断△DCE的形状，并说明理由；

（3）①小明在探究的过程中发现：当m＝90°时，如图3，四边形ACB为平行四边形，请证明小明的结论的正确性；

②请你再探究：在△ADC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接写出m的值；若不能，请说明理由．

7．如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．

①求证：CE∥BF；

②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的