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九年级数学经典例题

21．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△

AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．

（1）如图1，当α＝45°时，求证：OE＝OD；

（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）OE＝OD还成立吗？请说明理由．

【解答】解：（1）由旋转的性质得：AF＝AC，∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB

∴∠FEC＝90°

又∵O为CF的中点，

1

∴=

2

1

同理：=

2

∴OE＝OD．

（2）当45°＜α＜90°时，OE＝OD成立，理由如下：

连接CE，DF，如图所示：

在正方形ABCD中，AB＝AD

∴AD＝AE

∵O为CF的中点，

∴OC＝OF

∵AF＝AC

∴∠ACF＝∠AFC

∵∠DAC＝∠EAF

∴∠DAC﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE

∴∠EAC＝∠DAF

在△ACE和△AFD中，

∵AF＝AC，∠EAC＝∠DAF，AD＝AE

∴△ACE≌△AFD（SAS）

∴CE＝DF，∠ECA＝∠DFA

又∵∠ACF＝∠AFC

∴∠ACF﹣∠ECA＝∠AFC﹣∠DFA

∴∠ECO＝∠DFO

在△EOC和△DOF中，

∵EC＝DF，∠ECO＝∠DFO，CO＝FO

∴△EOC≌△DOF（SAS）

∴EO＝DO．

−

22．（10分）−=是不符合多项顶式运算法则的，因此这个等式是错误的．

535−3

−

但当x、y取某些特殊数值时，这个等式可以成立，例如：x＝y＝0时，−=等

535−3

−

式成立；x＝5，y＝9的，−==−2等式成立；

535−3

−

我们称使得，−=成立的一对有理数x、y为“巧合数对”，记作（x，y）．

535−3

5

（1）若（x，1）是“巧合数对”，则有理数x＝．

9

9

（2）若（x，y）是“巧合数对”，试归纳、猜想有理数x、y应满足的关系式是y=x．

5

（3）求6a﹣13b﹣3（5a﹣6b+2）的值，其中（a，b）是“巧合数对”．

−1−1

【解答】解：（1）把y＝1代入−=得，−=，

535−3535−3

5

解得，x=，

9

5

故答案为；

9

−

（2）∵−=