概率随机变量函数.ppt

关于概率随机变量函数第1页，共31页，星期日，2025年，2月5日

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?第2页，共31页，星期日，2025年，2月5日

例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解=a0br+a1br-1+…+arb0由独立性r=0,1,2,…一、的分布第3页，共31页，星期日，2025年，2月5日

解依题意例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.第4页，共31页，星期日，2025年，2月5日

r=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.第5页，共31页，星期日，2025年，2月5日

例3设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函数是:它是直线x+y=z及其左下方的半平面.第6页，共31页，星期日，2025年，2月5日

化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序第7页，共31页，星期日，2025年，2月5日

由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.第8页，共31页，星期日，2025年，2月5日

特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式第9页，共31页，星期日，2025年，2月5日

为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式也即第10页，共31页，星期日，2025年，2月5日

暂时固定故当或时,当时,当时,于是第11页，共31页，星期日，2025年，2月5日

例5若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式第12页，共31页，星期日，2025年，2月5日

令得可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).第13页，共31页，星期日，2025年，2月5日

用类似的方法可以证明:若X和Y独立,结论又如何呢?此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).第14页，共31页，星期日，2025年，2月5日

有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.更一般地,可以证明:第15页，共31页，星期日，2025年，2月5日

二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数即有FM(z)=FX(z)FY(z)第16页，共31页，星期日，2025年，2月5日

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(N≤z)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)的分布函数由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)第17页，共31页，星期日，2025年，2月5日