高等数学 教案【ch09】二重积分.docx

《高等数学》课程教案

课题：二重积分

教学目的：

1．了解二重积分的概念与性质

2．掌握二重积分的计算方法及应用

课型：新授课

课时：

本章安排4个课时。

教学重点：

重点：二重积分的计算方法及应用

教学难点：

难点：二重积分的计算方法及应用

教学过程：

教学形式：讲授课，教学组织采用课堂整体讲授和分组演示。

教学媒体：采用启发式教学、案例教学等教学方法。教学手段采用多媒体课件、视频等媒体技术。

板书设计：

本课标题

二重积分

课次

2

授课方式

理论课□讨论课□习题课□其他□

课时安排

4

学分

共2分

授课对象

普通高等院校学生

任课教师

教材及参考资料

1.《高等数学》；电子工业出版社。

2.本教材配套视频教程及学习检查等资源。

3.与本课程相关的其他资源。

教学基本内容

教学方法及教学手段

课程引入

衔接导入

在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和式极限，若将这种和式极限的概念推广到定义在平面区域上的二元函数，则得到二重积分的概念。本章将介绍二重积分的概念、计算方法及应用。

参考以下形式：

1.衔接导入

2.悬念导入

3.情景导入

4.激疑导入

5.演示导入

6.实例导入

7.其他形式

本章基本知识汇总

第一节二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1.引例曲顶柱体的体积

设有一个立体图形，它的底面是xOy平面上的有界闭区域D，侧面是以区域?D?的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，顶是由二元连续函数z=f(x,y)，f(x,y)≥0表示的曲面，如图所示。这个立体图形称为区域D

我们知道，对于平顶柱体，当f(x,y)=h?（h为整数，h0）时，它的体积V=底面积×高=σ×h，式中σ是有界闭区域D的面积。现在曲顶柱体的顶是曲面，高f(x,y)在区域D上是变量，体积不能用上面的公式来计算。因此可仿照求曲边梯形面积的思路，把区域D分成许多小区域。由于

（1）分割。将区域D任意分成n个小区域，称为子域Δσ1、??Δσ2、???

（2）取近似。在每个小曲顶柱体的底Δσi上任取点(ξi,ηi)（

ΔV

（3）求和。将这n个小平顶柱体的体积相加得到原曲顶柱体体积的近似值，即

V=i=1

（4）取极限。将区域D无限细分以使每个子域趋于一个点，这个近似值就趋于原曲顶柱体的体积，即

V=lim

式中λ是这n个小区域的最大直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值）。

2.二重积分的定义

上面这个例子可看作二元函数在平面区域上的一个和式的极限。在物理、力学、几何及工程技术中，有很多量的计算都可以归结为上述特定和式的极限，抛开其具体意义，可以抽象出二重积分的定义。

定义：设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域Δσi（i=1,2,?,n），Δσi表示第i个子域的面积；在Δσi上任取一点(

Df

这时，称f(x,y)在区域D上可积，式中f(x,y)为被积函数，f(x,y)dσ为被积表达式，dσ为面积元素，D为积分区域，“

根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积就是曲顶函数f(x,y)，f(x,y)≥0在底面区域

V=D

3.二重积分的几何意义

当f(x,y)≥0时，二重积分Df(x,y)dσ的几何意义就是如图9-1所示的曲顶柱体的体积；当f(x,y)0时，柱体在xOy平面的下方，二重积分Df(x,y)dσ表示该柱体体积的相反值，即f(x,y)的绝对值在区域?D?上的二重积分Df(x,y)

二、二重积分的性质

性质1Dkf(x,y)dσ=kD

性质2D

性质3（积分区域可加性）若区域D被分成两个子域D1和D2，则在区域

D

性质4若在区域D上f(x,y)=1，且区域D的面积为σ，则

D

性质5若在区域D上f(x,y)≤g(x,y)，则

D

推论：函数在区域D上的二重积分的绝对值不大于函数的绝对值在区域D上的二重积分，即

D

性质6（估值定理）若M和m分别是函数f(x,y)在区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则

mσ≤

性质7（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，记σ是区域D的面积，则在区域D上至少存在一点(ξ,η)，使得

D

第二节二重积分的计算

一、在直角坐标系中二重积分的计算

在直角坐标系中，用平行于x轴和y轴的两簇直线分割区域D时，面积元素dσ=dx

Df(x,y)

现在先假定f(x,y)≥0，根据二重积分的几何意义讨论它的计算问题，同样适用于一般的二重积分

（1）设积分区域D可以用不等式组表示为

φ

其中函数φ1(x)和φ2(x)在区间[a,b]上连续，如下图所示。这种区域的特点是：穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域?D?

选x为积分变量，x∈[a,b]，任取子区间[x,x+dx]?[a,b]。设A(