高等数学 教案【ch05】定积分及其应用.docx

《高等数学》课程教案

课题：定积分及其应用

教学目的：

1.了解定积分的概念与性质。

2.掌握定积分的计算方法。

3.了解定积分的计算方法

课型：新授课

课时：

本章安排8个课时。

教学重点：

重点：定积分的计算方法

教学难点：

难点：定积分的计算方法以及定积分的计算方法

教学过程：

教学形式：讲授课，教学组织采用课堂整体讲授和分组演示。

教学媒体：采用启发式教学、案例教学等教学方法。教学手段采用多媒体课件、视频等媒体技术。

板书设计：

本课标题

定积分及其应用

课次

4

授课方式

理论课□讨论课□习题课□其他□

课时安排

8

学分

共2分

授课对象

普通高等院校学生

任课教师

教材及参考资料

1.《高等数学》；电子工业出版社。

2.本教材配套视频教程及学习检查等资源。

3.与本课程相关的其他资源。

教学基本内容

教学方法及教学手段

课程引入

衔接导入

本章讨论积分学的另一个问题—定积分。定积分用于计算平面上封闭曲线围成的图形的面积，计算这类图形的面积，最后都可以归结为计算具有特定结构的和式的极限。在实践中，人们逐渐认识到，这种特定结构的和式的极限，不仅是计算图形面积的数学形式，而且也是解决许多实际问题（如变力做功、水的压力等）的数学形式。因此，无论在理论上还是在实践中，求解特定结构的和式的极限—定积分具有普遍的意义。本章先从两个实例出发，引入定积分的概念；然后讨论定积分的性质与计算方法；最后讨论定积分的应用。

参考以下形式：

1.衔接导入

2.悬念导入

3.情景导入

4.激疑导入

5.演示导入

6.实例导入

7.其他形式

本章基本知识汇总

第一节定积分的概念与性质

一、实例

1.曲边梯形的面积

在平面直角坐标系中，设曲线是区间上的非负连续函数，由曲线、轴、直线及所围成的图形称为曲边梯形，如下图所示。

由于曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是变动的，因此面积不能直接用矩形或梯形的面积公式计算。由于曲边梯形的高在区间上是连续变化的，如果曲边梯形的底边很短，那么的变化很小，可以近似地看作不变，因此可以考虑用小矩形面积的和来逼近曲边梯形的面积。具体计算步骤如下：

（1）分割。在区间中任意插入个分点，各分点次序为

；

把区间分成个小区间，即

，

各个小区间的长度依次为

，

过每个分点作平行于轴的直线，将曲边梯形分割成个小曲边梯形。如图所示。

（2）近似代替。在每个小区间上任意取一点，以为高、为底作小矩形，用小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，即

。

（3）求和。个小矩形面积之和即为所求曲边梯形面积的近似值，即

。

（4）取极限。记所有小区间长度的最大值为

，

当分点个数无限增加，即时，上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，即

。

2.变速直线运动的路程

设某物体做直线运动，已知速度是时间的连续函数，且，求在时间间隔内物体经过的路程。

如果物体做的是匀速直线运动，那么在内物体所经过的路程。但在本问题中，物体做的是变速直线运动，速度是变化的。但是，由于速度是连续变化的，因此当时间间隔很小时，物体速度的变化也很小，也就是说在很小的时间间隔内可近似地将物体的运动看作匀速直线运动。下面用类似于求曲边梯形的方法来计算路程。

（1）分割。在时间间隔内任意插入个分点，各分点时刻的先后次序为

；

把分成个小段，即

，

各小段时间的长度分别为

；

相应地，在各段时间内物体经过的路程依次为

。

（2）近似代替。在时间间隔上任意取一个时刻，用时刻的速度来近似代替物体在上各个时刻的速度，得到部分路程的近似值，即

。

（3）求和。这段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程的近似值，即

。

（4）取极限。记所有小时间段的最大值为

，

当分点个数无限增加，即时，上述和式的极限就是所求路程的精确值，即

。

在科学技术中还有许多实际问题的解决也可以归结为求解这类和式的极限。抛开这些实际问题的具体意义，把这类和式的极限用数学语言加以概括、抽象，便可以得到定积分的概念。

二、定积分的概念

定义1设函数在区间上有界，在中任意插入个分点，各分点次序为

；

把区间分成个小区间，即

，

各个小区间的长度依次为

；

在每个小区间上任取一点，计算函数值与小区间长度的乘积，并计算出和

。

记，如果不规定的分法，也不规定小区间上点的取法，只要当时，总趋于确定的极限，那么称函数在区间上可积，并称极限为函数在区间上的定积分，记作，即

。

式中，为被积函数；为被积表达式；为积分变量；为积分区间；为积分下限；为积分上限；读作函数从到上的定积分。

关于定积分的定义，在理解时还应注意以下几点。

（1）是和式的极限，它表示一个数值，是由函数与积分区间确定的。因此，定积分与积分变量的记号无关，即

。

（2）在定积分的定义中，通常假设，对于、的情况