高等数学 教案【ch04】不定积分.docx

《高等数学》课程教案

课题：导数的应用

教学目的：

1.熟练掌握不定积分的概念和性质。

2.能够运用基本积分公式求不定积分。

3.能够运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分。

4.能够运用不定积分的性质解决实际问题。

课型：新授课

课时：

本章安排6个课时。

教学重点：

重点：运用基本积分公式求不定积分；运用不定积分的性质解决实际问题

教学难点：

难点：运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分；运用不定积分的性质解决实际问题

教学过程：

教学形式：讲授课，教学组织采用课堂整体讲授和分组演示。

教学媒体：采用启发式教学、案例教学等教学方法。教学手段采用多媒体课件、视频等媒体技术。

板书设计：

本课标题

导数的应用

课次

3

授课方式

理论课□讨论课□习题课□其他□

课时安排

6

学分

共2分

授课对象

普通高等院校学生

任课教师

教材及参考资料

1.《高等数学》；电子工业出版社。

2.本教材配套视频教程及学习检查等资源。

3.与本课程相关的其他资源。

教学基本内容

教学方法及教学手段

课程引入

衔接导入

在微分学中，我们已经学过怎样求已知函数的导数和微分，但在许多实际问题中，经常需要解决与此相反的问题，即已知一个函数的导数或微分求原来的函数，亦即求一个未知函数。这种已知导数或微分求原来函数的运算称为不定积分。本章将介绍不定积分的概念及其计算方法。

参考以下形式：

1.衔接导入

2.悬念导入

3.情景导入

4.激疑导入

5.演示导入

6.实例导入

7.其他形式

本章基本知识汇总

第一节不定积分的概念与性质

一、原函数的概念

定义1如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任意，有

，

那么称函数为在区间上的一个原函数。

例如，因为，所以是的一个原函数；此外，因为，所以也是的一个原函数；显然对于任意常数?C，都有，所以也是的原函数。

定理1若函数在区间内连续，则在区间内存在原函数。简单地说就是连续函数一定有原函数。

定理2若函数在区间内有原函数，则的所有原函数都可以表示为

(为任意常数)。

注：从定理2可知，只要求出的一个原函数，那么(为任意常数)就是的所有原函数。

二、不定积分

定义2若是在区间内的一个原函数，则的所有原函数（为任意常数）称为在内的不定积分，记作

，

即

。

式中，为被积函数；为被积表达式；为积分变量。

三、积分与导数（或微分）的互逆运算性质

性质1或；

性质2或。

性质1说明不定积分的导数等于被积函数，或者说，先积分后微分则积分符号与导数符号相互抵消了；性质?2?说明对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与该函数相差一个常数。

四、基本积分公式

根据原函数的定义，由导数和微分基本公式容易推导得到下面的基本积分公式：

（1）（为常数）；

（2）（）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）；

（13）；

（14）；

（15）；

（16）；

（17）；

（18）；

（19）；

（20）；

（21）；

（22）。

五、不定积分的性质

设函数与均在区间上存在原函数，则

性质3与的和或差的不定积分等于它们的不定积分的和或差，即

（该性质可以推广到有限个函数的情形）。

性质4被积函数中的非零常数因子可以提到积分号之前，即

（常数）。

现在我们应用不定积分的基本运算法则和基本积分公式来计算不定积分，这种计算不定积分的方法称为直接积分法。

第二节换元积分法

可以利用基本积分公式和积分的性质来计算的不定积分非常有限，因此有必要进一步研究不定积分的求法。本节把求复合函数微分的方法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换得到复合函数，这种求积分的方法称为换元积分法。根据换元方式的不同，换元积分法通常分为以下两类。

一、第一类换元积分法（凑微分法）

设具有原函数，即，，如果是中间变量，且设可微，那么根据复合函数的微分法则，有

，

从而根据不定积分的定义得

。

于是有下面的定理。

定理3设具有原函数，可导，则有换元公式

。

用第一类换元积分法求不定积分的具体步骤如下：

（1）必须把被积函数分解成和的乘积；

（2）引入中间变量，使得，这样被求的不定积分就变成了已知的不定积分；

（3）把代回原函数中，即可得到所求的不定积分。

二、第二类换元积分法（变量代换法）

对于有些不定积分，如、等难以用凑微分法求解。因此我们用单调可导的函数代换x，即，将积分化为积分，这样就把所求的不定积分变成了易求解的不定积分，即

。

此方法通常称为第二类换元积分法，也称为变量代换法。

定理4设函数单调可导，并且，且