高等数学 课件【ch08】多元微分学.pptx

多元微分学第八章高等数学高等职业教育数字课程改革创新系列教材

01多元函数的基本概念

多元函数的基本概念在前面已经讨论了含有一个自变量的函数（一元函数），但在自然科学和工程技术中，经常会遇到含有两个及两个以上自变量的函数，即多元函数。二元函数与一元函数有许多相似之处，但在某些方面存在本质区别，学习时应注意它们的联系与区别。

一、平面区域平面上由几条曲线围成的部分平面称为平面区域，一般用D表示。围成平面区域的曲线称为该区域的边界线。多元函数的基本概念

多元函数的基本概念它们对应的平面区域见图8-1～图8-4。

多元函数的基本概念它们对应的平面区域见图8-1～图8-4。

多元函数的基本概念它们对应的平面区域见图8-1～图8-4。

多元函数的基本概念它们对应的平面区域见图8-1～图8-4。

二、多元函数的概念多元函数的基本概念上面两个例子，虽然是来自不同领域的问题，但是都说明了三个变量之间的关系。这种关系给出了一个变量与两个变量之间的对应法则。依照这个法则，当这两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定值与之对应。

多元函数的基本概念类似地，可以定义三元函数、四元函数等。二元及二元以上的函数，统称为多元函数。多元函数的定义域、函数值和对应法则的求法与一元函数的定义域、函数值和对应法则的求法基本相似。

多元函数的基本概念【例1】（1）如图8-5所示。

多元函数的基本概念【例1】（2）如图8-6所示。

多元函数的基本概念【例1】（3）如图8-7所示。

多元函数的基本概念以坐标原点为球心、以4为半径的上半球面，如图8-8所示。

多元函数的基本概念三、二元函数的极限点（x，y）趋于点（x0，y0）的方式是任意的（见图8-9）。

四、二元函数的连续多元函数的基本概念根据极限四则运算法则及有关复合函数的极限定理，可以证明，二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续的。由此可以得出，二元初等函数在其有定义的区域内是连续的。有界闭区域上的二元连续函数也有类似于一元连续函数在闭区间上的性质。

02偏导数

偏导数一、偏导数的概念在一元函数微分学中，我们研究过函数y=f（x）的导数，即函数y对于自变量x的变化率。对于多元函数，我们也常常需要研究它对某个自变量的变化率的问题，这就有了偏导数的概念。

根据以上定义，可以发现：二元函数对x求偏导数，实际上就是将y看成常量，只把x看成变量的一元函数对x求导数。二元函数对求y偏导数，实际上就是将x看成常量，只把y看成变量的一元函数对y求导数。偏导数

二、高阶偏导数偏导数一元函数可导必连续，但对于二元函数，由本例和本章第一节的例5可知，即使两个偏导数都存在（也称可导）也不能保证二元函数的连续性。类似于一元函数高阶导数的定义，可以定义二元函数的高阶偏导数。

03全微分

全微分类似于一元函数微分的概念，引入二元函数全微分的概念。在一元函数中，可微与可导是等价的，但在多元函数里，这个结论并不成立。因此，两个偏导数存在只是函数可微的必要条件。

04多元复合函数与隐函数的微分法

一、多元复合函数的求导法则在第二章里，我们学过一元函数复合函数的求导法则。多元函数的复合函数求导问题比较复杂，我们先从一种特殊情况开始讨论。多元复合函数与隐函数的微分法

多元复合函数与隐函数的微分法为方便记住复合函数的求导公式，可以先画出各变量之间的关系图，如式（8-8）中复合函数各个变量之间的依赖关系可用图8-10表示。

多元复合函数与隐函数的微分法（1）多元复合函数各变量之间的关系如图8-11所示。

多元复合函数与隐函数的微分法（2）多元复合函数各变量之间的关系如图8-12所示。

多元复合函数与隐函数的微分法式（8-7）中各变量之间的关系可用图8-13表示。

多元复合函数与隐函数的微分法二、隐函数的求导公式设方程确定了函数，则将它代入方程变为恒等式。两端对x求导得。

05多元函数的极值和最值

一、二元函数的极值定义?6设函数z=f（x，y）在点处的某邻域内有定义，对于该邻域内异于点的点P（x，y）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。多元函数的极值和最值

多元函数的极值和最值定义?6，（见图8-14）。

多元函数的极值和最值，如图8-15。

多元函数的极值和最值二、二元函数的最值由本章定理1可知，有界闭区域D上的连续函数一定有最大值和最小值。与一元函数类似，函数的最大值或最小值可能在区域D内部的驻点或是