高中理科数学立体几何选择题的解法.docVIP

立体几何选择题的解法

立体几何选择题有两种形式：一是线线、线面、面面关系的判断题，二是求角或距离．

一、线线、线面、面面关系

1．〔江西，文7〕设直线m与平面α相交但不垂直，那么以下说法中正确的选项是：

A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；

B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直；

C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；

D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．

解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，以长方体为构图框架；②条件中，有“平面、直线”，一般地固定平面，移动直线，对选择项逐一检验．

检验A：显然，b⊥m,c⊥m,所以：A×．

检验B：正确，B√．

检验C：显然d⊥m,d∥α,故C×．

检验D：显然β∥m,且β⊥α，所以：D×．

2．〔天津，文4〕设a、b是两条直线，α、β是两个平面，那么a⊥b的一个充分条件是：

A．a⊥α，b∥β,a⊥β；【a⊥b】

B．a⊥α，b⊥β,a∥β；【a⊥b】

C．a在α内，b⊥β,a∥β；【a⊥b】

D．a在α内，b∥β,a⊥β．【a⊥b】

解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，条件中出现：“a∥β”，在构图时，把a、β画为同一个平面；②假设条件中出现：

“b∥β”，在构图时，把b画在平面β内；③此题选项的条件多，验证选项时，从两个平面平行入手：故先检验C．此题【C】．

3．〔安徽，理4〕m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下命题中正确的选项是

A．假设m//α，n//α，那么m//n；

B．假设m⊥γ,β⊥γ,那么α∥β；

C．假设m//α，m∥β,那么α∥β；

D．假设m⊥α,n⊥α,那么m//n．

解析：①三种关系“线线、线面、面面”的判断题，假设选项的结论中有“α∥β”，那么首先检验：条件是否足以保证两个平面不重合；此题直接淘汰B、C；②假设选项的结论中有“m//n”，那么首先检验：条件是否足以保证两条直线不相交；此题直接淘汰A；故【D】

4．〔浙江，文9〕对于两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得

A．直线a在α内，直线b也在α内B．直线a在α内,b∥α

C．a⊥α，b⊥αD．直线a在α内,b⊥α

解析：①存在性命题结构：“假设p…，必定存在…，使得q…”“必定存在…，假设p…，

那么q…”，“使得”＝“”，“必定存在…”是大前提．

②命题“两条不相交的空间直线a和b”命题“a∥b，或a、b异面”；

求解方法是：构造命题，逐一验证．

A：“必定存在平面α，假设a∥b，或a、b异面，那么直线a在α内，直线b也在α内”，×；

B：“必定存在平面α，假设a∥b，或a、b异面，那么直线a在α内,b∥α”，√；

C：“必定存在平面α，由a∥b，或a、b异面a⊥α，b⊥α”，×；

D：“必定存在平面α，由a∥b，或a、b异面直线a在α内,b⊥α”，×．

评注：①存在性命题结构：“假设p…，必定存在…，使得q…”的理解要到位；

②“两条不相交的空间直线a和b”“a在α内,b∥α”．

5．〔海南，文12〕平面α⊥平面β，α∩β＝L，点A∈α，A不有直线L上，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β，那么以下四种位置关系中，不一定成立的是

A．AB∥m

B．AC⊥m

C．AB∥β

D．AC⊥β

解：根据条件和解题原那么：①先画平面α、β和交线L；②由解题原那么，把m画为与L重合；③由解题原那么：假设结论中有平行，那么考察条件是否能保证元素的不重合，所以首先淘汰A、C；④在长方体左侧面内，变动AC，故【B】．

6．a、b为异面直线，那么：①经过直线a，存在惟一平面α，使b∥α；②经过直线a，存在惟一平面α，使b⊥α；③经过直线a、b外任意一点，存在平面α，使a∥α，b∥α；上述命题中，真命题的个数为

A．0B．1C．2D．3

解：〔1〕构造长方体；〔2〕条件中的“异面直线”，视为“相交直线”，①√；②×；③×

二、求角或距离及球中的计算

1．〔09、四川、理、15〕正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，那么异面直线所成的角的大小是_________________；

解：不妨设棱长为2，补成直四棱柱．计算即得：90度．

评注：补形可以减轻思维压力，降低计算难度．

2．〔09、浙江、理5〕在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，那么与平面所成角的余弦值