2025学年中考数学二轮复习专题：二次函数与线段最值问题【含答案】.docx

2025学年中考数学二轮复习专题：二次函数与线段最值问题

·题型一：基础线段的长及其最值问题

求水平线段或竖直线段的最值：

方法步骤：

1、设出动点的坐标；

2、表示出水平或竖直线段的长；

3、利用二次函数的性质求解。

求斜线段的最值：

方法步骤：

①、设出点坐标，表示出线段长；

②、通过作y轴或x轴平行线构造三角形与已知三角形相似或构造特殊三角形，将斜线段转化为竖直线段；

④、利用二次函数的性质求解。

求斜线段比值的最值：

方法步骤：

①、设出点坐标，表示出线段长；

②、找出含有线段比值的两个相似三角形，利用相似三角形的性质将线段比值转化到可以表示出来的线段上；

①、利用二次函数的性质求解。

经典例题1

（2023.重庆中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1

（1）求该抛物线的解析式；

（2）P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作PD┴AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标。

经典例题2

（2023.济南模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图2，M为直线AC上方抛物线上的任意一点，过点M作y轴的平行线交AC于点N，过点M作x轴的平行线交AC于点Q，求ΔMNQ周长的最大值。

经典例题3

（2023.四川中考）如图，抛物线y=ax

（1）求抛物线的解析式；

（2）若D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC的上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标。

经典例题4

（2023.四川中考）已知抛物线的解析式是y=?x

如图1，求射线MF的解析式；

（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标分别是x1，x2(

（3）如图2，当抛物线经过点C（O，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧。在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N，求PNAN的最大值。

图1图2

·题型二：利用“将军饮马”解决线段最值问题

202

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·基础模型原理1（两定一动之“点-点和的最值）（“河”和异侧）

如图所示，A、B为定点，P为直线上一动点，试求PA＋PB的最小值。

基础模型原理1（两定一动之“点-点和的最值）（“河”和同侧）

如图，定点A，B分布在定直线的同侧，在直线上找一点P，使得PA＋PB的值最小？

基础模型原理2（两定一动之“点-点差的最值）（差同侧）

如图所示，A，B为定点，在直线上找一点P，使得｜PA-PB｜最大。

基础模型原理2（两定一动之“点-点差的最值）（差同侧）

如图所示，A，B为定点，在直线上找一点P，使得｜PA-PB｜最小。

·基础模型原理3（一定两动之“点-点最值）

如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求ΔPMN的周长最小值。

基础模型原理4（两定两动之“点-点最值）

如图，P、Q为两定点，M、N分别为0A、OB上的动点，求四边形PQMN的最小值。

·基础模型原理5（一定两动之“点-线最值）

如图所示，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+M的最小值。

·基础模型原理6（将军过桥）（两定点一定长-河异侧）

已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

基础模型原理7（将军遛马）（两定点一定长-河同侧）

如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？

河

在ΔABC中，已知点D、E、F分别为AB、AC、BC上的动点，求ΔDEF周长的最小值。

经典例题5

如图，抛物线y=?x

（1）如图①，若点P是y轴上一动点，当BP＋PE取得最小值时，求点P的坐标。

（2）如图②，连接CD，点Q是x轴上一动点，连接CQ，DQ，求ΔCDQ周长的最小值。

（3）如图③，若点M为y轴上一动点，点N为x轴上一动点，求四边形DENM周长的最小值。

经典例题6

（2023.山东一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y=?x

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP，试求EQ+PQ+AP的最小值。

经典例题7

（2023.天津中考）已知抛物线y=ax

（1）若b=-2,c=-3,①求顶点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1m3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标。

（2）若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴正半轴上的动点，F是y轴负半轴上的动点，当PF＋FE＋EN的最小值为5时，求点E，F的坐标。

·题型三：利用“胡不归”解决